Buchvorstellung
Buchcover

Das einzige Mittel, den Irrtum zu vermeiden, ist die Unwissenheit.
Jean-Jacques Rousseau

Parameterschätzung im strengen Gauß-Helmert-Modell

Die Schätzung nach der Methode der kleinsten Quadrate hat sich nicht nur bei natur- und ingenieurwissenschaftlichen Aufgaben als Standardverfahren durchgesetzt. Die positiven Eigenschaften dieses Schätzers und die leichte Implementierung in rechnergestützte Systeme haben maßgeblich dazu beigetragen. Der Anwender sollte sich somit in Sicherheit wähnen, unabhängig vom gewählten Programm bei gleichen Eingangsdaten und Einstellungen identische Lösungen zu erhalten, wenn die Methode der kleinsten Quadrate Anwendung findet. Dies muss auch gelten, wenn unterschiedliche funktionale Modelle verwendet werden, sofern diese äquivalent sind. So lässt sich eine Gerade bspw. durch einen Anstieg a und ein Absolutglied b darstellen.


Geradengleichung y = ax+b
Variante 1

Dieselbe Gerade lässt sich jedoch auch in vektorieller Form parametrieren.


Geradengleichung in vektorieller Form
Variante 2

Worin der Vektor t den Aufpunkt und r den Richtungsvektor repräsentieren. Ein drittes funktionales Modell für die Gerade ist die Hessesche Normalform.


Geradengleichung als Hessesche Normalform
Variante 3

Hierbei sind P ein beliebiger Punkt der Geraden, n der normierte Einheitsvektor und d der kürzeste Abstand der Geraden zum Koordinatenursprung (Nitschke 2005).

Eine 4. Variante ist u.a. bei Wolf (1997) zu findet. Die Gerade wird hier durch einen Steigungswinkel φ und den Abstandsparameter d parametriert.


Parametrierung einer Geraden durch einen Abstand und einen Steigungswinkel
Variante 4

Alle vier Gleichungen beschreiben, sofern sie definiert sind, dieselbe Figur und lassen sich widerspruchsfrei ineinander überführen. Folglich ist zu erwarten, dass unabhängig vom gewählten funktionalen Modell dieselbe Figur in der Ausgleichung geschätzt wird.


Linearisierung im strengen Gauß-Helmert-Modell

Insbesondere Lenzmann und Lenzmann (2001, 2004) haben mit ihren Arbeiten gezeigt, dass unabhängig vom gewählten funktionalen Modell nur durch eine exakte Linearisierung äquivalente Ergebnisse erzielt werden können, und mussten hierfür ironischerweise zunächst viel Kritik einstecken. Das Ergebnis ihrer Arbeit war die Ableitung eines Formelapparats für den Allgemeinfall der Ausgleichung – dem Gauß-Helmert-Modell. Hierbei zeigte sich, dass u.a. die in Niemeier (2008) aufgeführten Gleichungen für das Gauß-Helmert-Modell lediglich einen Sonderfall darstellen, welcher nur unter bestimmten Voraussetzungen dieselbe Lösung liefert wie die Anwendung der strengen Gleichungen (Lenzmann und Lenzmann 2004).
Für diesen Beitrag soll es ausreichen, die zur Lösung des strengen Gauß-Helmert-Modells notwendigen Formeln aufzuführen, eine vollständige Herleitung und Erläuterung kann den genannten Arbeiten entnommen werden.

Die Linearisierung der Zielfunktion erfolgt an der Stelle f(X0, v0), wobei der Vektor X0 die Näherungswerte der zu bestimmenden Parameter und v0 die Verbesserungen enthalten.


Linerisierte Zielfunktion im Gauß-Helmert-Modell
Linerisierte Zielfunktion

In den Jacobimatrizen A und B sind die partiellen Ableitungen nach den Unbekannten bzw. Beobachten an der Stelle (X0, v0) zusammengefasst. Der Widerspruchsvektor w ergibt sich zu


Widerspruchsvektor im strengen Gauß-Helmert-Modell
Widerspruchsvektor

sodass sich folgende Lösung des Gleichungssystem in Blockmatrizenschreibeweise ergibt.


Gauß-Helmert-Modell in Blockmatrizenschreibeweise
Gauß-Helmert-Modell

Die angegebene Lösung des Gleichungssystems ist mit der aus Niemeier (2008) identisch. Der Unterschied liegt in der Linearisierung, die an der Stelle (X0, v0) zu erfolgen hat und nicht an der Stelle (X0, 0). Hierdurch ergeben sich idR. andere Matrizen A, B und w und somit eine abweichende Lösung X für die zu bestimmenden Parameter. Die Lösungen für X und v sind demnach solange als neue Näherungswerte in die Ausgleichung einzuführen, bis keine signifikanten Änderungen an den Parameterzuschlägen festzustellen sind.


Ausgleichung einer Ebene nach Quasivermittelnden Beobachtungen

In Kampmann und Renner (2004) werden drei Verfahren zur Bestimmung einer Regressionsgeraden bzw. durch Hinzufügen der dritten Dimension einer -ebene beschrieben. Das erste Verfahren ist Drixler (1993) entnommen. Hierbei handelt es sich um ein direktes Lösungsverfahren mittels Eigenwertzerlegung. Da dieses Verfahren die exakte Lösung liefert, bei der die Verbesserungsvektoren senkrecht auf der zu bestimmenden Figur bzw. Form stehen, dient das Ergebnis dieses Verfahrens als Referenzwert.

Die beiden anderen Methoden nutzen die Parametrierung:


Hessesche Normalform zur Beschreibung einer Ebene
Ebene

Wobei in der einen Variante die Nebenbedingung d=1 und in der anderen der Vektor n auf die Länge 1 durch eine zusätzliche Restriktion normiert wird und somit die Hessesche Normalform entsteht. Die Wahl der Nebenbedingung ist prinzipiell egal, solange der Rank-Defekt durch diese behoben wird. Die Vorgabe eines Wertes für d ist insofern limitierend, da hierdurch nicht mehr alle Ebenen beschreibbar sind.

Als Lösung für diese beiden Methoden schlagen Kampmann und Renner (2004) die in Wolf (1997) beschriebene Ausgleichung nach Quasivermittelnden Beobachtungen vor. Hierbei handelt es sich um einen Sonderfall der Ausgleichung nach bedingten Beobachtungen mit Unbekannten, bei dem »jede Verbesserung v in nur einer der Bedingungsgleichungen (vorkommt)« (Wolf 1997). Die Quasivermittelnden Beobachtungen stellen somit einen Sonderfall des Gauß-Helmert-Modells dar.

Mit dem folgenden Zahlenbeispiel zeigen Kampmann und Renner (2004), dass die Wahl der Restriktion die geschätzten Parameter beeinflusst und das Einführen der Restriktion d=1 nicht die exakte Lösung liefert. Die nachfolgenden vier Punkte, die als gleichgenau angenommen werden, sollen die Beispielebene im Raum beschreiben.

Beispielpunkte
Pkt X Y Z
A -10.0 -15.0 -20.0
B -1.0 -0.5 -2.0
C 1.0 1.5 1.0
D 10.0 1.0 20.0

Die drei Verfahren lieferten dabei folgende Lösung für die vier Ebenenparameter:

Ergebnisse der Ebenenausgleichung (Kampmann und Renner 2004)
MethodenxnynzdvTv
Drixler (1993) -0.92606 0.168226 0.337806 0.042395 0.134032
Restriktion d=1 0.333333 0.666667 -0.666667 -0.666667 0.888889
Restriktion nTn=1 -0.92606 0.168226 0.337806 0.042395 0.134032

Es ist zu erkennen, dass die zweite Methode, bei der der Normalenvektor n normiert und d zur besseren Vergleichbarkeit bereits transformiert wurden, andere Parameter für die Ebene liefert als die beiden anderen Verfahren. Darüber hinaus ist die Verbesserungsquadratsumme vTv auch deutlich größer. Da das funktionale Modell und die jeweils gewählte Restriktion für die hier zu bestimmende Ebene stets korrekt sind, scheint die Ursache im Ausgleichungsmodell zu liegen.


Ausgleichung einer Ebene im strengen Gauß-Helmert-Modell

Mit dem oben aufgeführten Formeln für das strenge Gauß-Helmert-Modell wird die Ausgleichung mit beiden funktionalen Modellen wiederholt, um die von Kampmann und Renner (2004) publizierten Ergebnisse zu verifizieren. Unter dem in Lösler und Nitschke (2010) angebotenen Quellcode zur Ellipsenausgleichung befinde sich auch ein Algorithmus zur Ebenenausgleichung. Der dort verfügbare Algorithmus nutzt als funktionales Modell die Hessesche Normalform. Da bei diesem Modell die Bedingung explizit aufgestellt wird, handelt es sich somit um ein Gauß-Helmert-Modell mit Restriktionen, mit der Restriktionsmatrix R und dessen Widersprüchen r.


Strenges Gauß-Helmert-Modell mit Restriktionen
Strenges GHM mit Restriktionen

Das Festhalten des Parameters d=1 kann durch einfache Modifikation des Quellcodes erfolgen. Da es sich hierbei um eine implizite Restriktion handelt, kann auf die Matrix R und dem zugehörigen Widerspruchsvektor r verzichtet werden.
Die nachfolgende Tabelle stellt die erzielten Ergebnisse gegenüber. Auch hier wurde der Normalenvektor n normiert und d transformiert, um die erzielten Ergebnisse direkt vergleichbar zu machen.

Ergebnisse der Ebenenausgleichung mittles strengen Gauß-Helmert-Modell
Restriktion nxnynzdvTv
d=1 -0.92606004 0.16822588 0.33780593 0.042395013 0.13403205
nTn=1 -0.92606004 0.16822588 0.33780593 0.042395013 0.13403205

Im Gegensatz zu den Ergebnissen von Kampmann und Renner (2004) sind die geschätzten Parameter vollkommen identisch und entsprechen der eingangs gemachten Forderung, dass unabhängig vom gewählten funktionalen Modell dieselbe Figur in der Ausgleichung geschätzt wird.

Das in Kampmann und Renner (2004) beschriebene Verfahren nach Quasivermittelnden Beobachtungen entspricht letztlich einer Transformation des Gauß-Helmert-Modells in ein Gauß-Markov-Modell (Jäger et al. 2005).


Sonderfall Quasivermittelnden Beobachtungen
Quasivermittelnden Beobachtungen

Wie in Ghilani und Wolf (2006) beschrieben, ist hierbei nicht nur der Parametervektor X in jeder Iteration zu verbessern sondern auch der Beobachtungsvektor l. Aus den Verbesserungen der Widersprüche vw sind demnach die Beobachtungsverbesserungen v zu bestimmen und wiederum als Näherung in den folgenden Berechnungsschritt einzuführen.


Verbesserungen bei Quasivermittelnden Beobachtungen
Verbesserungen

Wird dieser Schritt berücksichtigt, so liefert auch die Ausgleichung nach Quasivermittelnden Beobachtungen die korrekte Lösung für die zu bestimmende Ebene. In der Arbeit von Kampmann und Renner (2004) wird explizit jedoch darauf hingewiesen, dass eine Iteration bei der Variante mit der Restriktion d=1 nicht erforderlich ist, da es zu keiner Änderung in den geschätzten Parametern kommen könne. Eine Berücksichtigung der Verbesserungen fand somit nicht statt und ist als Ursache für die Abweichungen in ihren Ergebnissen zu sehen.


Fazit

Unabhängig vom gewählten funktionalen Modell liefert der Allgemeinfall der Ausgleichung, das Gauß-Helmert-Modell, identische Lösungen für die zu schätzenden Parameter. Voraussetzung ist, dass eine korrekte Linearisierung stattfindet, wie sie u.a. Lenzmann und Lenzmann (2004) beschrieben haben. Auch die Überführung des Gauß-Helmert-Modells in ein Gauß-Markov-Modell im Kontext der Quasivermittelnden Beobachtungen zieht keine Einschränkungen nach sich, solange hier ebenfalls die Verbesserungen bei der Linearisierung Berücksichtigung finden (Ghilani und Wolf 2006).


Quellen

Verwendete Literatur, die nicht der Bibliothek entnommen ist:

  • Kampmann, G., Renner, B. (2004), Vergleich verschiedener Methoden zur Bestimmung ausgleichender Ebenen und Geraden, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN).
  • Lenzmann, E., Lenzmann, L. (2001), Zur Bestimmung eindeutiger Transformationsparameter, Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement (ZfV).
  • Lenzmann, L., Lenzmann, E. (2004), Strenge Auswertung des nichtlinearen Gauß-Helmert-Modells, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN).
  • Lösler, M., Nitschke, M. (2010), Bestimmung der Parameter einer Regressionsellipse in allgemeiner Raumlage, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN).

21.08.2011 von Michael Lösler