Buchvorstellung
Buchcover

Er ist ein Mathematiker und also hartnäckig.
Johann Wolfgang von Goethe

Ausgleichung eines Höhennetzes mit Java Graticule 3D (JAG3D)

Java Graticule 3D (JAG3D) ist ein kleines Ausgleichungstool, welches hybride geodätische Netze in einem Guss ausgleichen kann. Eingeführte Beobachtungsgrößen können demnach verschiedene Dimensionen haben. Eine getrennte Höhen- und Lageauswertung muss beispielsweise nicht vollzogen werden. Die Berechnung erfolgt nach der Methode der kleinsten Quadrate (Gauß-Markov-Modell), die in der Geodäsie am gebräuchlichsten ist. Die Wahl des Netzanschlusses ist frei wählbar. Der Anwender kann zwischen drei Modi wählen:

  • Freie Netzausgleichung,
  • Dynamische Netzausgleichung,
  • Gezwängte Netzausgleichung.

Neben der Parameterbestimmung durch eine Ausgleichsrechnung kann wahlweise eine robuste Schätzung zur Voranalyse durchgeführt werden. Hierzu sind die auf [Wicki, 1998] zurückgehenden BIBER-Schätzer implementiert. Ebenfalls möglich ist die Durchführung einer Netzplanung mit fiktiven Beobachtungen.
Am Beispiel der Höhennetzausgleichung soll die generelle Arbeitsweise vom freien Ausgleichungsprogramm JAG3D demonstriert werden. Alle Berechnungen erfolgten mit der derzeit aktuellen Version v2.0.20081211. Diese und ggf. neuere Versionen können auf der Projektseite von SourceForge.net - javagraticule3d.sourceforge.net - kostenfrei heruntergeladen werden. Die jeweils aktuelle Version gibts im Service-Bereich dieser Seite. Die hier gewählten Beispiele stammen alle samt aus verschiedenen Lehrbüchern. Die jeweilige Quelle ist angegeben.


Gezwängte Netzausgleichung

Nachfolgendes Beispiel ist auf den Seiten 229ff in der 2. Auflage von [Benning, 2007] zu finden. Es handelt sich um ein an drei (varianzfreien) Festpunkten angeschlossenes Höhennetz mit drei zu bestimmenden Neupunkten. Gemessen wurden sechs gleichgenaue Höhenunterschiede. In der nachfolgenden Tabelle sind die gegebenen Größen aufgelistet:

Fest- und Neupunkte
Pkt Höhe [m] Punkttype
1 83.821 Neupunkt
2 83.722 Neupunkt
3 82.730 Neupunkt
4 82.000 Festpunkt
5 82.002 Festpunkt
6 80.651 Festpunkt

 

Beobachtungen
Standpunkt Zielpunkt δZ [m] σprio [m]
4 1 1.821 0.002
5 2 1.720 0.002
6 3 2.079 0.002
1 2 -0.097 0.002
1 3 -1.089 0.002
2 3 -0.995 0.002

Die gegebenen Daten können in JAG3D entweder manuell eingegeben werden oder über den Importdialog der jeweiligen Gruppe, der über das Kontextmenü erreicht wird, eingelesen werden. JAG3D akzeptiert spaltenweise aufgebaute ASCII-Dateien, proprietäre Formate werden nicht unterstützt. Abbildung 1 zeigt die über das Kontextmenü der Delta-Z Gruppe eingelesenen Höhenunterschiede. Jede Gruppe besitzt zwei Tabellen. Eine Rohdatentabelle, die editierbar ist, und eine Ergebnistabelle, in der nach der Ausgleichung die Ergebnisse aufgelistet sind. Die Ergebnisse können selbstverständlich nicht bearbeitet werden.


Abbildung 1: Import von Messdaten in Java Graticule 3D (JAG3D)
Abbildung 1: Import von Messdaten in Java Graticule 3D (JAG3D)

Der Import der Festpunkte bzw. Neupunkte erfolgt analog.

Aus der Aufgabenstellung geht hervor, dass alle Höhenunterschiede eine a-priori Genauigkeit von 2mm haben sollen. Die Genauigkeit kann entweder hinter jeder Beobachtung in der Tabelle gesetzt werden (individuelle Genauigkeit) oder für die gesamte Gruppe (Gruppengenauigkeit). Die Gruppengenauigkeit wird immer dann genutzt, wenn keine individuellen Unsicherheiten gegeben sind. Um eine Gruppengenauigkeit zu wählen, ist im Kontextmenü der jeweiligen Gruppe die Option Eigenschaften zu wählen und im nachfolgenden Dialog die Genauigkeit zu setzen (Abbildung 2).


Abbuldung 2: Einstellung der Gruppengenauigkeit
Abbuldung 2: Einstellung der Gruppengenauigkeit

Sind alle Einstellungen getroffen, so kann die Ausgleichung mit Berechnung starten Short-Cut [ALT+B] durchgeführt werden. Ist die Parameterschätzung beendet, so wird ein entsprechender Hinweisdialog ausgegeben. In der Ergebnistabelle der Neupunktgruppe 1. Höhenpunktgruppe sind die ausgelichenden Koordinaten der drei Punkte 1,2 und 3 mit zugehöriger Standardabweichung σ und Konfidenzintervall Ak aufgelistet.

ausgeglichene Neupunkte
Pkt Höhe [m] σpost [m]
1 83.82000 0.00104
2 83.72325 0.00104
3 82.72975 0.00104

Die Ergebnistabelle der Höhenunterschiede liefert neben dem verbesserten Höhenunterschied die Standardabweichung σ, den Redundanzanteil r der jeweiligen Beobachtung, den geschätzten Modellfehler ∇, die gewichtete Quadratsumme Ω und die beiden Testgrößen Tprio und Tpost, die Aufschlüsse über mögliche Ausreißer oder ein zu optimistisch gewähltes stochastisches Modell liefern. In der letzten Spalte werden mögliche Ausreißer boolesch dargestellt. Eine ähnliche (wenn auch mit weit weniger Parametern aufgeführte) Darstellung ist auch bei den Festpunkten zu finden. Abbildung 3 zeigt komprimiert alle drei Ergebnistabellen aus JAG3D.


Abbildung 3: Ergebnistabellen nach der Netzausgleichung aus JAG3D
Abbildung 3: Ergebnistabellen nach der Netzausgleichung aus JAG3D

Für die Bestimmung des Konvidenzintervalls und der beiden Testgrößen Tprio und Tpost wird das in den globalen Einstellungen hinterlegte α, hier α=0.1%, genutzt. Abschließend kann das Ergebnis als valider HTML Report gespeichert werden. Hierzu werden neben den Ergebnistabellen auch die ermittelten kritischen Werte mit ausgegeben.


Robuste Schätzung am Beispiel der Höhenausgleichung

Im Buch des Karlsruher Professorengespanns [Jäger et al., 2005] befindet sich eine ausführliche Übersicht von robusten Schätzverfahren. Diese sollten genutzt werden, um grobe Fehler im Datenmaterial zuverlässig aufzudecken – also immer dann, wenn die Methode der kleinsten Quadrate versagt und keine plausiblen Ergebnisse liefert. In der 1. Auflage in [Jäger et al., 2005] auf den Seiten 136f ist hierzu ein übersichtliches Beispiel gegeben. In einem Höhennetz sind 14 gleichgenaue Höhenunterschiede (σprio =0.001m) gemessen worden. Das Netz wird an drei bekannten Punkten varianzfrei angeschlossen. Zu bestimmen sind die vier Punkte 1, 2, 5 und 6. Da es sich beim Höhennetz bereit um ein lineares Modell handelt, sind keine Näherungen für die gesuchten Punkte notwendig. In [Jäger et al., 2005] sind daher alle Näherungshöhen konsequenterweise mit 0.0m angegeben. Alle Größen sind nachfolgend dargestellt.

Fest- und Neupunkte
Pkt Höhe [m] Punkttype
4 101.000 Festpunkt
3 102.000 Festpunkt
7 103.000 Festpunkt
1 0.000 Neupunkt
2 0.000 Neupunkt
5 0.000 Neupunkt
6 0.000 Neupunkt

 

Beobachtungen
Standpunkt Zielpunkt δZ [m] σprio [m]
1 4 1.0 0.001
1 2 1.0 0.001
4 5 -1.0 0.001
4 2 0.0 0.001
5 1 0.0 0.001
5 2 2.0 0.001
2 3 1.0 0.001
5 6 3.0 0.001
6 3 -1.0 0.001
5 3 2.0 0.001
6 2 -2.0 0.001
5 7 3.0 0.001
7 6 2.0 0.001
2 7 2.0 0.001

Wird die Berechnung mit den Standardeinstellungen – Methode der kleinsten Quadrate – zunächst durchgeführt, werden alle Beobachtungen als mögliche Ausreißer detektiert. Eine Fehlersuche wäre sicher möglich, könnte sich aber in Abhängigkeit der Projektgröße als zeitintensiv herausstellen.


Abbildung 4: Ausgleichung des Höhennetzes nach der Methode der kleinsten Quadrate und groben Fehlern im Datenbestand
Abbildung 4: Ausgleichung des Höhennetzes nach der Methode der kleinsten Quadrate

Ist davon auszugehen, dass nur wenige grobe Fehler im Datenmaterial vorhanden sind, bieten die BIBER-Schätzer eine gute Möglichkeit zur Voruntersuchung. In den globalen Projekteinstellungen ist hierzu die Option Robuste Ausgleichung durchführen zu wählen. Der Grenzwert für das robuste Intervall sollte, so [Wicki, 1998], zwischen 2.5 und 4.0 liegen und ist problembezogen anzusetzen.


Abbildung 5: Globale Projekteinstellungen in JAG3D
Abbildung 5: Globale Projekteinstellungen in JAG3D

Die Parameterschätzung ist mit den getroffenen Einstellungen erneut durchzuführen. In der Ergebnistabelle der Höhenunterschiede werden nun nur noch zwei Messungen als Ausreißer selektiert (Abbildung 6). Durch klicken auf den Tabellenkopf, lässt sich die Ergebnistabelle spaltenweise sortieren. Bei einer größeren Anzahl an Beobachtungen können so direkt die fehlerhaften Messungen an den Anfang sortiert werden. Die Messung 5-2 und 7-6 wurden als grob falsch aufgespürt.

Im Übrigen steht diese Sortierfunktion bei aktivem JavaScript auch im HTML-Report zur Verfügung.


Abbildung 6: Ergebnis der robusten Schätzung mittels BIBER-Schätzer
Abbildung 6: Ergebnis der robusten Schätzung mittels BIBER-Schätzer

Am verbesserten Höhenunterschied, siehe Tabelle in Abbildung 6; dritte Spalte, lässt sich darüberhinaus erkennen, in welcher Größenordnung der jeweilige Wert liegen müsste.

grob falsche Beobachtungen und deren robuste Schätzung
Standpunkt Zielpunkt ursprünglich [m] robust [m]
5 2 2.0 1.0
7 6 2.0 0.0

Die Messung 5-2 ist demnach um 1m falsch, die Messung 7-6 sogar um 2m. Werden beide Werte korrigiert und eine erneute Ausgleichung mit den bereinigten Daten durchgeführt, so liefert weder die robuste Schätzung noch die vermittelnde Ausgleichung weitere Unstimmigkeiten. Mit den beiden Änderungen ist das fiktive Netz sogar vollständig fehlerfrei. Eine weitere Analyse erübrigt sich hier demnach.


Resümee

Am Beispiel von zwei kleinen Höhennetzen wurde die formale Vorgehensweise bei Verwendung des freien Ausgleichungsprogramm Java Graticule 3D (JAG3D) kurz erläutert. Zusammen mit dem Beitrag: Robuste Ausgleichung des überbestimmten räumlichen Bogenschnitts sollte eine Übertragung auf komplexere Aufgabenstellungen problemlos möglich sein, auch wenn nur ein sehr kleiner Bereich der Möglichkeiten beleuchtet wurde.

Neben der Netzausgleichung mittels Gauß-Markov-Modell wurde auch die robuste Parameterschätzung, die in Java Graticule 3D implementiert ist, beispielhaft vorgeführt. Bei Fragen und Anregungen steht das GEO-Forum zur Verfügung.

14.12.2008 von Michael Lösler