ich habe grundsätzlich nichts gegen unserer Unterhaltung aber vielleicht solltest Du Dir mehr Zeit nehmen für diese Thematik und nicht jede Frage direkt wieder ins Forum tragen, die Dir auf der Zunge liegt. Manchmal hilft auch etwas Abstand oder Querlesen in anderen Quellen, um Sachverhalte nachzuvollziehen.

Was mit nicht klar ist, woher schlussendelich das kommt.

In Abhängigkeit der Dimension des ∇-Vektors (genau genommen vom Rang der Kofaktormatrix von ∇): Aus Gl. (7.22) bzw. (7.24) und (7.26).

• es wurde wegen ein grober Fehler festgestellt ("z" soll das Quantil der Normalverteilung sein)

Okay, also ein einseitiger Test und keine zweiseitige Fragestellung, vgl. Zum Einsatz der F-Verteilung bei gerichteten und ungerichteten Hypothesentests

• Wie berechne ich den Nichtzentralitätsparameter ? Aus dem Beispiel (Jäger, S.93) scheint es, dass sich dieser aus den Quantilen der Normalverteilung für (im Beispiel)
  
  zusammensetzt. Ist das richtig?

In dem speziellen Fall ist das tatsächlich so einfach. Für allg. Fälle leider nicht.

• Nebenfrage: Gilt für normierte Verbesserungen immer eine zweiseitige Fragestellung?

Nein. Wenn Du eine Setzung hast bzw. vermutest, schließt Du doch die Hebung bereits aus, sodass Dich nur eine Seite interessiert.

1) Test der w_i mit 1-alpha (alpha=0.05)
1a) Grober Fehler erkannt, da w_i > z(alpha)

Ohne Berücksichtigung der Teststärke würdest Du diese Entscheidung treffen. Und ob es ein grober Fehler ist, weißt Du nie! Immerhin entfernst Du von 100 guten Beobachtungen (statistisch gesehen) 5.

2) erneuter Test, diesmal mit beta (=0.2)
2a) nun ist w_i < z(beta)

Dieser Test beruht nicht allein auf der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art (β) sondern auch auf der Wahrscheinlichkeit α für den Fehler 1. Art. Das ist ein Unterschied zu dem von Dir gesagten. Die in meinem Beispiel genannten 2.8 resultieren aus α und β.

Warum mache ich mir dann die Mühe und teste erst mit 1-alpha, wenn ich dann ohnehin erst durch beta zur Entscheidung der Annahme/Ablehnung der Nullhypothese komme?

Du hattest mich gefragt: Wie kann man geschickt zwischen Fehlern 1. und 2. Art abwägen? und ich habe Dir dann geantwortet. Oder anders: Du wolltest es wissen also frag mich nicht, warum Du es wissen wolltest.
Der erste Fall berücksichtigt, wie oben geschrieben, die Teststärke nicht. Die Entscheidung ist also unabhängig von der Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art. Es könnte also ein β=50 % vorliegen, womit jede zweite Entscheidung false negative wäre.

Viele Grüße
Micha

OK, nun zu den Fehlern 1./2. Art. Ich habe nun mal im Jäger (S.296ff) geschnüffelt. Was mit nicht klar ist, woher schlussendelich das kommt. Aber der Reihe nach. Meine Herangehensweise sei:

• ich habe die normierte Verbesserung berechnet
  
• es wurde wegen ein grober Fehler festgestellt ("z" soll das Quantil der Normalverteilung sein)
  
• ich nehme (=20%) bzw an

Nun meine Frage(n):

• Wie berechne ich den Nichtzentralitätsparameter ? Aus dem Beispiel (Jäger, S.93) scheint es, dass sich dieser aus den Quantilen der Normalverteilung für (im Beispiel)
  
  zusammensetzt. Ist das richtig?
  
• Nebenfrage: Gilt für normierte Verbesserungen immer eine zweiseitige Fragestellung? (ich könnte mir vorstellen, dass das daher rührt, dass w_i sowohl positiv als auch negativ sein könnte und damit die Normalverteilung links und rechts der Null existiert.
  
• Wenn ich mir Dein Beispiel anschaue, dann scheine ich jedoch den Nichtzentrlitätsparameter gar nicht zu brauchen. Schau Dir mal bitte das folgende (durch mich interpretatorisch erstellte) Schema an.

1) Test der w_i mit 1-alpha (alpha=0.05)
1a) Grober Fehler erkannt, da w_i > z(alpha)
2) erneuter Test, diesmal mit beta (=0.2)
2a) nun ist w_i < z(beta)
(z soll immer das Quantil der Standardnormalverteilung sein)

Warum mache ich mir dann die Mühe und teste erst mit 1-alpha, wenn ich dann ohnehin erst durch beta zur Entscheidung der Annahme/Ablehnung der Nullhypothese komme?

OK, das sind schon einige Fragen So richtig klar ist mir die Sache (oder auch der Sinn) mit dem beta-Test noch nicht. Wird aber bestimmt (gleich) mit Deiner Hilfe werden...

Viele Grüße

Thomas

gib zu, Du machst das auch beruflich - ich meine das Erklären dieser Zusammenhänge...

Das mit dem Dreisatz

hat mir einiges an Erklärung (bisher habe ich nur vermutet) gegeben! Und auch dies hier

Du könntest auch die Verbesserungen direkt testen, da

ist sehr einleuchtend. Genau dies hatte ich im Matlab ausprobiert und war genau zu diesem Schluss gekommen - konnte es aber eben nicht ordentlich erklären.

Wie kann man geschickt zwischen Fehlern 1. und 2. Art abwägen?

So, wie es bspw. Jäger et al. (2005) S. 296ff vorschlagen. Du könntest ein α und ein β vorgeben und damit bestimmen, wie groß ein Fehler sein muss, damit er mit den vorgebenden Wahrscheinlichkeiten gerade noch aufdeckbar ist. Oder andersherum: Du spezifizierst ein Sensitivitätsintervall, innerhalb dessen die normierte Verbesserung noch liegen muss, um für Dein gewähltes α und β als zufällig zu gelten, sodass Du die Nullhypothese nicht abzulehnen ist.

OK, das muss ich nachher mal lesen. Gesehen hatte ich das, aber noch nicht gelesen. Mal sehen, ob ich es heute noch schaffe, ansonsten werde ich erst morgen antworten können - muss auch noch ein bisschen arbeiten

Viele Grüße

Thomas

standardmäßig für die Suche nach groben Fehlern die NV UND dann die stupide Anwendung der Tabelle (0<NV<2,5 / 2,5<NV<4,0 / NV>4,0) vor. Nunja.

Es ist ja auch nicht falsch und eine praxisnahe Einteilung mit glatten einfachen Werten. Umgedreht würde aber keiner eine Sicherheitswahrscheinlichkeit von 98,7581 % wählen, was der 2.5 entsprechen würde.

.
OK, also P=0.95 und der Erwartungswert . Soweit so gut. Wenn ich allerdings die Standardabweichung verwende, dann kommt Unsinn heraus. Es funktioniert nur, wenn ich da eine (standardmäßige) Eins, also sigma=1, eintrage.

Und Du hast Dich nicht gefragt, warum in der Gleichung oben N(0,1) steht? Die Null gibt den Erwartungswert an und die 1 ist die Standardabweichung der Standardnormalverteilung. Deine Gleichung oben ist also ein einfacher Dreisatz:

Du könntest auch die Verbesserungen direkt testen, da

dadurch, dass Du aber die Verbesserung normierst, transformierst Du diese auf die Standardnormalverteilung für die der o.g. Erwartungswert und die o.g. Standardabweichung gilt. Wenn Du die Normierung nicht durchführen würdest, was grundsätzlich möglich wäre, dann müsstest Du für jeden Test den individuellen Grenzwert (Quantil) bestimmen.

Beipsiel: Du hast eine Verbesserung v = 5 und eine zugehörige Standardabweichung von 2, dann wäre Deine normierte Verbesserung NV = 2.5. Für α = 5 % würde sich ein Quantil von 1.96 ergeben. Da 2.5 > 1.96 würdest Du die Nullhypothese ablehnen. Wenn Du nun nicht das Quantil der Standardnormalverteilung nutzt, sondern die zugehörige Normalverteilung der Verbesserung, dann würdest Du als N(0,2)-Quantil 3.92 erhalten. Dein Vergleich würde nun in 5 > 3.92 münden - logischerweise mit der selben Entscheidung.

Liegt das daran, dass in der Gleichung für das Testkriterium w_i schon durch die Standardabweichung geteilt wurde? Ich meine, der Eindruck drängt sich ja auf...

... und ist korrekt, wie oben versucht zu beschreiben.

Wie kann man geschickt zwischen Fehlern 1. und 2. Art abwägen?

So, wie es bspw. Jäger et al. (2005) S. 296ff vorschlagen. Du könntest ein α und ein β vorgeben und damit bestimmen, wie groß ein Fehler sein muss, damit er mit den vorgebenden Wahrscheinlichkeiten gerade noch aufdeckbar ist. Oder andersherum: Du spezifizierst ein Sensitivitätsintervall, innerhalb dessen die normierte Verbesserung noch liegen muss, um für Dein gewähltes α und β als zufällig zu gelten, sodass Du die Nullhypothese nicht abzulehnen ist.

Nehmen wir das Beispiel von oben und wählen β = 20 % für den Fehler 2. Art. Dann erhält man als Grenzwert 2.8 und mit 2.5 < 2.8 würden wir die Nullhypothese nicht mehr ablehnen. Die hier gewählten 20 % sind übrigens eine häufig gewählte Wahrscheinlichkeit (ab und zu auch als Testgüte von 1-β = 80 % angegeben).

so, nun habe ich im Jäger noch ein bisschen gelesen

Bleib dran, es steht viel nützliches drin...

Schönen Abend
Micha

so, nun habe ich im Jäger noch ein bisschen gelesen und auch nochmal in ein anderes Geodäsiebuch geguckt. Traurigerweise sind in meiner Reichweite hauptsächlich Bücher, die sich eher mit praktischen Anwendungen beschäftigen und die sehen einfach standardmäßig für die Suche nach groben Fehlern die NV UND dann die stupide Anwendung der Tabelle (0<NV<2,5 / 2,5<NV<4,0 / NV>4,0) vor. Nunja.

Ich möchte nicht nur das Testkriterium sondern auch das Quantil, wie Du schon richtgerweise schriebst berechnen.

zunächst, Du kannst nicht einfach irgendwas testen und die Verteilung nach belieben wählen.

OK, das war wohl ein bisschen zu wild von mir - habe aber schon wieder was gelernt

Wenn Du einen t-Test machen willst, gelten zwangsläufig andere Gleichungen für die Teststatistik.

Nee, das mache ich dann doch nicht. Ich bleibe schön bei der Normalverteilung:
.

Womit ich noch ein bisschen im Unklaren bin ist die Anwendung im Matlab. Wenn ich die Funktion

norminv(P,mu,sigma)

verwende, dann wird ja von mir erwartet bei P die Sicherheitswahrscheinlichkeit , bei mu den Erwartungswert und bei sigma die Standardabweichung vorzugeben.

OK, also P=0.95 und der Erwartungswert . Soweit so gut. Wenn ich allerdings die Standardabweichung verwende, dann kommt Unsinn heraus. Es funktioniert nur, wenn ich da eine (standardmäßige) Eins, also sigma=1, eintrage.

Nun meine Frage:
Liegt das daran, dass in der Gleichung für das Testkriterium w_i schon durch die Standardabweichung geteilt wurde? Ich meine, der Eindruck drängt sich ja auf...

Und gleich noch eine Frage:
Wie kann man geschickt zwischen Fehlern 1. und 2. Art abwägen?

Viele Grüße

Thomas