mal angenommen, Du willst eine Ebene Schätzen. Der (mögliche) funktionale Zusammenhang ist:

dann suchst Du die Komponenten des Vektors, d.h., a, b und c. Für diese gibst Du Näherungswerte vor. Demnach suchst Du

Deine unbekannten Parameter sind nur noch die Zuschläge, da Du die Näherungswerte ja bereits kennst. Deine Designamatrix wäre demnach (die Ableitung nach den Zuschlägen):

Viele Grüße
Micha

Angenommen ich habe den Unbekanntenvektor X=(a,b,c)^T

die ausgeglichenen Unbekannten X_Dach ergeben sich aus den Näherungswerten X_0 der Unbekannten X und den Verbesserungen/kleinen Beträgen x_Dach.
Spreich:

X_Dach=X_0+x_Dach

Der Funktionenvektor Phi ergibt sich:

L+v=Phi(X_Dach)

sprich

L+v=Phi(X_0+x_Dach)

mit Beobachtung L und Verbesserungen v.

Die Designmatrix A ist dann die Ableitung von Phi für jede Beobachtung nach jeder Unbekannten X an den Näherungswerten.

Also leite ich eine Funktion Phi(X,x_Dach) nach X oder nach X und x_Dach ab? Ist x_Dach in der Designmatrix und dem Funktionsvektor vorhanden?

Meine Designmatrix hat 30 Spalten

Okay. Damit das Gleichungssystem regulär wird - es also eine eindeutige Lösung für Dein Problem liefert -, muss rang(A) == 30 sein.

Vielleicht mal ein einfaches Beispiel aus der Formanalyse, um die Sache zu verdeutlichen. Eine Ebene soll geschätzt werden aus Punkten. Die Ebenengleichung lautet

hierin sind x ein Punkt der Ebene, n der Normalenvektor und d ein Abstandsparameter. Wenn Du nun mindestens drei Punkte hast (die nicht auf einer Gerade liegen), kannst Du n und d bestimmen. Das Gleichungssystem wird aber einen Defekt von 1 aufweisen - rang(A) = 3 aber die Anzahl der Unbekannten/Spalten in A ist 4. Der Defekt entsteht, weil n ein (Richtungs-)Vektor beliebiger Länge sein kann. Eine Änderung der Länge führt somit zu einer Änderung von d. Demnach sind n und d nicht unabhängig voneinander schätzbar.

Zur Behebung des Defektes reicht es demnach aus, z.b norm(n) == 1 zu fordern. In dem Fall erhält man die Hessische Normalform der Ebene und d ist der kürzeste Abstand vom Ursprung. Die hinzugefügte Bedingung ist geometrisch leicht zu interpretieren, sodass man keine Pseudoinverse oder ähnliches benötigt. Alternativ hätte man auch über d verfügen (z.B. d == 1).

Viele Grüße
Micha

rank(A)=5 bei 150 Beobachtungen.

Die Anzahl der Beobachtungen ist hier nicht relevant, da A vollen Spalten-Rang haben muss. Wie viele Spalten hat Deine A bzw. N Matrix?

Viele Grüße
Micha