Eddi

Ich meine mit den Werten a und b nicht die Additionskonstante und den Maßstabsfaktor aus einer Instrumentenkomparierung auf einer Vergleichsstrecke, sondern die Konstanten zur Berechnung der zu erwartenden Standardabweichung, also für die auch in der Fachliteratur.

In Deiner Notation ist $a$ und $b$ bereits die Standardunsicherheit der Korrektur und nicht der Korrekturwert selbst. Bei mir sind hingegen $a$ und $b$ die Korrekturterme und die zugehörigen Standardunsicherheit $\sigma_a$ bzw. $\sigma_b$.

Wenn Du Dein EDM kalibrierst bspw. gegen ein Interferometer oder auf einer Prüfstrecke und folgende Werte erhältst:

$a = 1.5~\mathrm{mm},~(\sigma_a = 0.75~\mathrm{mm})$
$b = 4.0~\mathrm{ppm},~(\sigma_b = 1.5~\mathrm{ppm})$

Wie bestimmst Du aus der angezeigten Strecke $s$ die korrigierte Strecke $\hat{s}$ und wie die zugehörige Unsicherheit $\hat{\sigma}_s$?

Meine Darstellung findet sich (ebenso) in der gängigen Literatur, z.B. Förstner (1979, Abs. 5), Niemeier (2008, Gl. 9.3.5) oder Jäger et al (2005, Gl. 5.245a,b).

Im Datenblatt von bspw. Leica steht bei der Angabe zur Streckenmessunsicherheit Standardabweichung nach ISO 17123-4. In dieser ISO wird das Prüfen auf einer Pfeilerstrecke und deren Auswertung durch eine Ausgleichung beschrieben. Der funktionale Zusammenhang ist (wenn Nullpunkt- und Maßstabsabweichung enthalten sind) $\hat{s}=a + b \cdot s$ für die Unsicherheit gilt dann automatisch $\hat{\sigma}_s = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\sigma_b \cdot s\right)^2}$.

Ich habe noch ein wenig recherchiert und tatsächlich eine Quelle gefunden, die beide Gleichungen erwähnt. Im Baumann (1998, Band II, S. 112f) heißt es im Kapitel 17.3.6 Genauigkeiten der elektronischen Distanzmessung und dem Punkt Genauigkeits-Formel der EDM (Zitat): Fassen wir diese beiden Gruppen (Anm. gemeint sind die additiven und die multiplikativen Anteile) jeweils zusammen, so wird eine Distanz, deren Ablesung wir kuzzeitig mit $d^*$ bezeichnen: $d = c + m \cdot d^*$. [...] Die Varianzfortpflanzung liefert dafür, wenn wir wieder $d^*=d$ setzen, die Varianz: $s^2_d = s^2_c + s^2_m \cdot d^2$, oft vereinfacht mit $s_d = s_c + s_m \cdot d$ (Hervorhebung von mir).

Viele Grüße
Micha

da habe ich mich voll schlecht ausgedrückt
Ich meine mit den Werten a und b nicht die Additionskonstante und den Maßstabsfaktor aus einer Instrumentenkomparierung auf einer Vergleichsstrecke, sondern die Konstanten zur Berechnung der zu erwartenden Standardabweichung, also für die auch in der Fachliteratur (Deumlich, Hennecke/Werner, JEK Bd.VI) übliche Formel $\sigma s=a+b*s$.
Und hier bin ich der Meinung, dass es sich dabei um eine "fertige" Formel handelt (wie z.B. auch die für andere Arten der Streckenmessung üblichen), die Angabe $\sigma s=3mm+10^-6*s$ für 2000 m also wirklich einen zu erwartenden Streckenfehler von 5 mm und nicht von $\sqrt(3^2+2^2)= 3,6 mm$ ergibt.
Diese Herstellerangaben werden ja sicher aus Vergleichsmessungen mit dem jeweiligen Gerät auf einer als fehlerfrei anzunehmenden Prüfstrecke aus den dann wahren Fehlern $\epsilon$ bzw. deren Betrag |$\epsilon$| über eine lineare Regression $\sigma s = f(s,\epsilon) = a+b*s$ berechnet.
Wenn ich mich recht erinnere, sind zu dieser Thematik ausführliche Angaben zur Gewichtszuordung im kombinierten Testnetz Graz im JEK Bd.VI.
Und vielleicht kann sich ein "industrienaher" Kollege äußern, wie diese Fehlerangaben zu interpretieren sind.

Eddi

ich denke, hier muss man zwei Dinge unterscheiden. Die Gleichung $\hat{s}=a + b \cdot s$ bezieht sich auf das funktionale Modell, wobei wir dessen Richtigkeit hier mal unterstellen. Das Bestimmen der Koeffizienten $a$ und $b$ kann bspw. auf einer Kalibrierstrecke erfolgen, für die Referenzstrecken vorhanden sind. Werden mehr als drei Pfeiler verwendet, entsteht ein überbestimmtest Gleichungssystem und neben $a$ und $b$ lassen sich auch $\sigma_a$ und $\sigma_b$ bestimmen.

Möchte man nun wissen, wie groß die Messunsicherheit von $\hat{s}=a + b \cdot s$ ist und wendet das Fehlerfortpflanzungsgesetz (mit Gliedern 1. Ordnung) an, dann ergibt sich die Varianz von $\hat{s}$ zu $\hat{\sigma}_s^2 = \sigma_a^2 + \left(\sigma_b \cdot s\right)^2$.

Geht man davon aus, dass der Hersteller alle Instrumente vor Auslieferung prüft und diese beiden Parameter intern wegstellt, sodass $\hat{s}$ statt $s$ ausgegeben wird - wenn dem nicht so wäre, müsste jede ausgegebene Strecke nachträglich noch korrigiert werden - dann kann die Angabe selbst nur die Unsicherheit $\sigma_a$ und $\sigma_b$ sein im Datenblatt. Dies würde ich auch aus der ISO 17123 - Norm so rauslesen wollen.

Die Gleichung $\hat{s}=a + b \cdot s$ entspricht dem (funktionalen) Korrekturmodell und $\hat{\sigma}_s = \sqrt{\sigma_a^2 + \left(\sigma_b \cdot s\right)^2}$ ist das zugehörige stochastische Modell zur Bestimmung der Unsicherheit der korrigierten Strecke.

Viele Grüße
Micha

Eddi