Buchvorstellung
Buchcover

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.
Carl Friedrich Gauß

Notwendigkeit zur präzisen Instrumentenhöhebestimmung in der Geodäsie

Während in der klassischen Vermessung in der Regel eine Trennung in Lage- und Höhennetz erfolgt, werden in der Ingenieurvermessung auch echte 3D-Netze eingesetzt. Moderne Tachymeter liefern mit den drei Messelementen Schrägstrecke, Horizontal- und Vertikalwinkel alle notwendigen Größen zur Bestimmung eines Raumpunktes. Sollen Teile eines klassisch aufgebauten Netzes (2D + H) mitbenutzt werden, so müssen idR. die Reflektor- und Instrumentenhöhen bestimmt werden. Bei räumlichen Netzen mit geringen Genauigkeitsanforderungen reicht es im Allgemeinen aus, diese Höhe mit einem Zollstock zu bestimmen. Mit zunehmenden Genauigkeitsanforderungen kann dieses simple Verfahren nicht mehr eingesetzt werden, da sich Messfehler direkt auf die Höhenkomponente des Punktes auswirken. Zur präzisieren Bestimmung der Kippachshöhe eines Tachymeters wird in diesem Artikel ein Verfahren vorgestellt und die zu erwartenden Genauigkeiten hergeleitet. Ferner wird das aufgezeigte Verfahren modifiziert und mit dem ursprünglichen Verglichen.


Verfahren zur Bestimmung der Kippachshöhe eines Tachymeters

Für die Bestimmung der Kippachshöhe wird eine analoge Nivellierlatte, die auf einen Punkt mit bekannter Höhe gesetzt wird, bei nahezu horizontaler Visur mit einem Tachymeter angezielt. Mit der bekannten Horizontalstrecke sh zwischen Nivellierlatte und Instrument und dem ermittelten Zenitwinkel z lässt sich die Gegenkathete mittels Kotangens bestimmen. Wird dieser so berechnete Höhenunterschied von der abgelesenen Höhe der Nivellierlatte HNiv abgezogen, so folgt direkt die gesucht Kippachshöhe des Instruments HInst.


Berechnung der Kippachshöhe
Berechnung der Kippachshöhe

Um Fehler bei der Lattenablesung zu vermeiden, sollte die Anzielung auf einen glatten Wert an der Latte erfolgen. Durch Wiederholungsmessungen zu anderen Teilstrichen kann die berechnete Höhe direkt validiert werden. 
Mit welchen Genauigkeiten bei diesem Verfahren zu rechnen ist, hängt natürlich von der Qualität der Beobachtungen ab. Die einfache Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes gibt Aufschluss darüber, welche der Komponenten letztlich der limitierende Faktor ist. Es lautet für die o.g. Gleichung:


Fehlerabschätzung
Fehlerabschätzung

Modifiziertes Verfahren zur Höhenbestimmung

Existiert keine Möglichkeit, die Distanz zwischen Instrument und Nivellierlatte zu bestimmen, muss dieses Verfahren modifiziert werden und zwar so, dass die nicht bestimmbare Strecke aus der Gleichung eliminiert wird. Dies geschieht genau dann, wenn nicht nur eine sondern zwei (unterschiedliche) Ablesungen an der Nivelliertlatte nebst Zenitwinkelmessung erfolgen, da hierbei die horizontale Strecke und die gesuchte Instrumentenhöhe gleich bleiben muss.


Bedingung zwischen zwei Ablesungen und der Strecke
Bedingung zwischen 2 Ablesungen und sh

Durch Auflösen nach der gesuchten Höhe HInst folgt direkt:


modifizierte Berechnung der Kippachshöhe
modifizierte Berechnung der Kippachshöhe

Um auch hier die zu erwartenden Unsicherheiten abzuschätzen, ist wiederum das Varianzfortpflanzungsgesetz anzuwenden.


Varianzfortpflanzungsgesetz
Varianzfortpflanzungsgesetz

worin die Jacobimatrix A und die Varianzmatrix der Beobachtungen CBeo wie folgt definiert sind:


Design- und Varianzmatrix
Design- und Varianzmatrix

Skizze

Nachfolgende Skizze zeigt schematisch den Messaufbau und die Bestimmungselemente.


Bestimmung der Kippachshöhe eines Tachymeters
Bestimmung der Kippachshöhe eines Tachymeters

Worin z ein gemessener Zenitwinkel, HNiv die Ablesung an der Nivellierlatte über einer Bezugshöhe und sh die horizontale Strecke ist. Die gesuchte Höhe der Kippachse ist H.


Berechnungbeispiel

Für die erste Methode liegen folgende Messungen mit zugehörigem Unsicherheitsbudget vor:

Strecke sh = 5.34m (σ = 0.02m)

Zenitwinkel z1 = 100.0427gon (σ = 0.005gon)

Lattenablesung: HNiv1 = 1.375m (σ = 0.0005m)

Dies ergibt für die Kippachse eine Höhe von 1.3786m mit einer Standardabweichung von 0.0006m. Dass die in die Berechnung eingeführte Strecke kaum Einfluss auf die Höhenbestimmung hat, zeigt sich daran, dass eine Änderung um 1cm auf 5.35m keine Änderung am Ergebnis bewirkt. Auch eine Änderung des Zenitwinkels um 1mgon verschiebt die Höhe lediglich um 0.1mm auf 1.3787m. Die größte Sorgfalt muss daher bei der Lattenanzielung und -ablesung betrieben werden, da diese direkt in die Instrumentenhöhe eingeht.

Um die Kippachshöhe mit der modifizierten Methode ohne Strecke zu bestimmen, ist eine weitere Lattenablesung und Zenitwinkelmessung nötig:

Zenitwinkel z2 = 99.9829gon (σ = 0.005gon) 

Lattenablesung: HNiv2 = 1.380m (σ = 0.0005m)

Als Ergebnis für die gesuchte Kippachshöhe erhalten wir wiederum 1,3786m. Die ermittelte Standardabweichung ist mit 0.0005m nur unwesentlich besser. Es lässt sich zeigen, das ähnlich wie auch bei der ersten Methode die Genauigkeit der ermittelten Höhe direkt von der Qualität der Lattenablesungen abhängig ist. Eine Mehrfachmessung sollte daher zwingend erfolgen!


Zusammenfassung

In diesem Artikel wurden zwei einfache Möglichkeiten zur präzisen Bestimmung der Kippachshöhe vorgestellt, die Berechnungsformeln hergeleitet und die zu erwartenden Genauigkeiten abgeschätzt. Beide Verfahren liefern gleich gute Ergebnisse und sind damit geeignet für Ingenieurprojekte mit sehr hohen Genauigkeitsanforderungen. Der limitierende Faktor ist stets die Ablesung an der Nivellierlatte, da diese direkt ins Ergebnis eingeht. Durch Mehrfachmessungen können hier fehlerhafte Ablesungen jedoch problemlos aufgedeckt und letztlich eliminiert werden. Die beim ersten Verfahren benötigte Distanz zwischen Instrument und Nivellierlatte kann problemlos auch mit einem Messband bestimmt werden, da sie mit untergeordneter Genauigkeit in die Berechnung eingeht.

Das in diesem kurzen Artikel aufgegriffene Problem der präzisen Kippachshöhenbestimmung war Teil der Überlegung für die Einrichtung eines Überwachungsprozesses. Das vorhandene Netz, welches mitbenutzt werden sollte, wird dort traditionell in Lage und Höhe getrennt gepfelgt.

13.05.2009 von Michael Lösler