Buchvorstellung
Buchcover

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.
Ernst Mach

Berücksichtigung korrelierter Beobachtungen bei der Monte-Carlo-Methode

Nachdem am Beispiel der Bestimmung der Unsicherheit des Umfangs eines n-eckigen Polygons einführend gezeigt wurde, wie die Monte-Carlo-Methode zur Abschätzung und Ermittlung von (zu erwartenden) Genauigkeiten auf einfache Art und Weise anwendbar ist, wurde im zweiten Beitrag die Möglichkeit zur Bestimmung einer vollständigen Varianz-Kovarianz-Matrix mittels Monte-Carlo-Simulation gezeigt. Durch einen implementierten online Rechner konnte der interessierte Leser das Ergebnis der Simulation mit dem Ergebnis des Fehlerfortpflanzungsgesetzes in Abhängigkeit des Stichprobenumfangs direkt nachvollziehen und prüfen.

In diesem dritten Beitrag soll die Anwendung der Monte-Carlo-Methode bei korrelierten Eingangsdaten bzw. Beobachtungen dargestellt werden. Ein direkter Vergleich zum Fehlerfortpflanzungsgesetz soll dem Anwender auch hier zeigen, das mit der Monte-Carlo-Methode ermittelte Genauigkeiten gleichwertig sind.

Korrelationen zwischen Größen treten immer dann auf, wenn es Abhängigkeiten zwischen diesen Größen gibt. In der Geodäsie hat man es beim bestimmen von Polarpunkten mit einem tachymetrisch messenden Instrument streng genommen immer mit korrelierten Beobachtungen zu tun. Dieser Umstand wird jedoch in der Regel als vernachlässigbar klein eingestuft. Ist diese Annahme bei Messungen mit einer Totalstation vielleicht noch vertretbar, so ist diese beim Einsatz eines Laserscanners in jedem Fall überdenkenswürdig. Das die aus den Messelementen abgeleiteten Parameter in der Regel Korrelationen aufweisen, wurde anschaulich am Beispiel der polaren Punktbestimmung gezeigt. Werden mit diesen Punkten weitere Berechnungen durchgeführt, so sollten diese Informationen vollständig genutzt werden, da Korrelationen Auswirkungen auf das Ergebnis haben.


Bestimmung des Abstands zwischen zwei korrelierten Punkten

Als einfach nachvollziehbares Beispiel soll die Bestimmung der Entfernung zweier Punkte nach dem Satz des Pythagoras dienen. Die Beobachtungsgrößen seien die beiden Punkte A = [26.9637, 23.1544, 12.6583] und B = [17.8679, 25.5584, 12.6431], für die eine vollständige Varianz-Kovarianz-Matrix CAB aus einer Ausgleichung vorliegt.


Varianz-Kovarianz-Matrix der Punkte A und B
Varianz-Kovarianz-Matrix der Punkte A und B

Es gilt den Abstand d und die zugehörige Standardabweichung σd zu schätzen. Die bekannte funktionale Beziehung lautet:


Streckenberechnung aus Koordinaten
Streckenberechnung aus Koordinaten

Die ermittelte Standardabweichung nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz lautet:


Standardabweichung nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz
Standardabweichung nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz

und erfordert die partiellen Ableitungen nach den Eingangsparametern, die in der Matrix A mit der Dimension uxn (hier 1x6) stehen.


Berücksichtigung von Korrelationen bei der Monte-Carlo-Simulation

Um die vollständige Varianz-Kovarianz-Matrix CAB bei der Monte-Carlo-Simulation zu berücksichtigen, ist diese zuvor zu zerlegen. Da CAB eine symmetrisch positiv definite Matrix sein muss, kann das nach André-Louis Cholesky (1875-1918) benannte Verfahren der Cholesky-Zerlegung genutzt werden. Die Cholesky-Zerlegung, die gerade beim Lösen von Gleichungssystemen genutzt wird, zerlegt eine Matrix M in seine Faktoren G.


Cholesky-Zerlegung
Cholesky

Für den Sonderfall, das M eine Diagonalmatrix ist, enthält G die gewurzelten Elemente von M, die wiederum nur auf der Hauptdiagonalen stehen.


Cholesky-Zerlegung bei Diagonalmatrizen
Cholesky-Zerlegung bei Diagonalmatrizen

Ist M demnach eine (diagonale) Varianz-Matrix, so enthält G die zugehörigen Standardabweichungen. Wir erinnern uns, das Standardabweichungen bei der Monte-Carlo-Methode für die Simulation von Messrauschen erforderlich sind.

Allgemein gilt, dass die Matrix der Zufallszahlen X aus m unabhängigen standardnormalverteilten Zufallswerten Z und dem Erwartungswert μ bestimmt wird.


Cholesky-Zerlegung bei Monte-Carlo-Methode
Cholesky & MCM

Liegt X vor, so lassen sich Varianzen und ggf. Kovarianzen, wie bereits am Beispiel der Bestimmung der Unsicherheiten eines Polarpunktes gezeigt, problemlos durch den funktionalen Zusammenhang ermitteln.


Bestimmung der Standardabweichung durch die Monte-Carlo-Methode

Die Matrixzerlegung nach Cholesky ergibt für die Varianz-Kovarianz-Matrix CAB folgende untere Dreiecksmatrix GAB.


Faktormatrix G nach Cholesky-Zerlegung
Faktormatrix G nach Cholesky-Zerlegung

Für jede Beobachtung ist nun ein m-dimensionaler Vektor zi mit unabhängigen standardnormalverteilten Werten zu erzeugen und letztlich zu einer nxm Matrix Z zusammenzufassen, wobei n die Anzahl der Beobachtungen (hier: n=6) und m die Größe der Stichprobe (zB m=100000) ist.


Matrix mit Zufallszahlen
Matrix mit Zufallszahlen

Die Berechnung der Matrix X, die die gestreuten Werte der m-dimensionalen Stichprobe der Eingangsparameter zeilenweise enthält, ist nun problemlos möglich. Mit dieser kann die Bestimmung der m Strecken di zwischen den m simulierten Punktpaaren erfolgen, aus denen letztlich eine mittlere Strecke und die zugehörige Standardabweichung ermittelt werden. Nachfolgende Ergebnisse wurden aus einer Stichprobengröße von m=100000 abgeleitet.


Mittlere Strecke und Standardabweichung nach Monte-Carlo-Simulation (m=100000)
Mittlere Strecke und Standardabweichung nach MCM (m=100000)

Ergebnis

Die Monte-Carlo-Simulation bietet eine einfach zu implementierende Möglichkeit, Messunsicherheiten zu ermitteln oder abzuschätzen. Die bei einer ausreichend großen Strichprobe ermittelten Unsicherheiten sind vergleichbar mit dem Ergebnis aus der klassischen Fehlerfortpflanzung.

In diesem Beitrag wurde am einfachen Beispiel der Abstandsbestimmung gezeigt, dass auch korrelierte Eingangsgrößen bei der Ermittlung von Messunsicherheiten mit der Monte-Carlo-Methode Berücksichtigung finden können und somit ein alternatives (und gleichwertiges) Verfahren den Praktiker gegeben ist, Genauigkeitsabschätzungen durchzuführen. Als anschauliches Beispiel soll das im nächsten Artikel beleuchtete Verfahren zur Koordinatenbestimmung mittels Rückwärtsschnitt dienen, in dem drei Verfahren verglichen und die erzielbaren Genauigkeiten abgeschätzt werden.

01.01.1970 von Michael Lösler