Buchvorstellung
Buchcover

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.
David Hilbert

Einfluß der Kovarianzen auf die Genauigkeit des Messergebnisses

Eine generelle Frage, die man sich als Geodät bei der Präsentation von Messergebnissen stellen muß, ist die der erreichten Genauigkeiten. Für die Bestimmung dieser wird im Allgemeinen auf das Fehlerfortpflanzungsgesetz (FFG) zurückgegriffen. Dabei bleiben jedoch meist die Korrelationen, d.h. die Beziehungen und Abhängigkeiten zwischen den Größen, unberücksichtigt und es wird von unabhängigen Größen ausgegangen. An einem einfachen nachvollziehbaren eindimensionalen Beispiel soll gezeigt werden, welche Auswirkungen die Vernachlässigung bzw. Berücksichtigung der Kovarianzen auf das Endergebnis hat.


Versuchsbeschreibung und Skizze

Skizze
Skizze

Gegeben seien die in Abbildung 1 dargestellten zwei Teilstrecken a und b, die mit unterschiedlichen Geräten und Genauigkeiten bestimmt wurden. Die Standardabweichung der Strecke a sei σa=0.01m und die der Strecke b ist mit σb=0.001m angegeben. Beide Strecken sind unkorreliert.


Berechnung der Standardabweichung der Punkte D und R

Designmatrix A
Designmatrix A

Der Punkt D ergibt sich zu D=a und der Punkt R ist die Summe R=a+b der beiden Teilstrecken. Die daraus resultierende Designmatrix A, welche die partiellen Ableitungen nach den Beobachtungen a und b enthält, ergibt sich zu


Kovarianzmatrix der Strecken a und b
Kovarianzmatrix der Strecken a und b

Aus den angegebenen Standardabweichungen der Strecken lässt sich die diagonale Kovarianzmatrix ableiten. Sie lautet:


Kovarianzmatrix aus Fehlerfortpflanzungsgesetz der Punkte D und R
Kovarianzmatrix aus Fehlerfortpflanzungsgesetz der Punkte D und R

Die Standardabweichungen der Punkte D und R ergeben sich aus der Wurzel der Hauptdiagonalelemente der nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz bestimmten Kovarianzmatrix:


Beide Punkte haben demnach (nahezu) die selbe Standardabweichung von σD=σR=0.01m. Dies erscheint auch nicht weiter verwunderlich, da in beiden Punkten die wesentlich schlechter bestimmte Teilstrecke a enthalten ist.


Rückrechnung der Teilstrecke b

Nehmen wir dieses Ergebnis als Ausgangssituation für unsere Untersuchung. Bestimmt werden soll nun die Strecke b aus den Koordinaten der Punkte D und R. Beide Punkte haben eine Standardabweichung von σD=σR=0.01m, wie oben gezeigt. Der Abstand b ergibt sich aus der Differenz der beiden Punkte zu b=R-D=-D+R. Die Designmatrix Ab mit den partiellen Ableitungen nach den Beobachtungen ist gegeben durch:


Designmatrix A
Designmatrix A

Werden die Beziehungen zwischen den Punkten vernachlässigt, so ergibt sich die Varianz der Strecke b aus:


Varianz der Teilstrecke b ohne Berücksichtigung der Kovarianzen
Varianz der Teilstrecke b ohne Berücksichtigung der Kovarianzen

Die durch Wurzelziehen abgeleitete Standardabweichung beträgt σb=0.014m und ist damit deutlich schlechter als in der oben beschriebenen Ausgangssituation.
Werden auch die Nebendiagonalelemente bei der Bestimmung berücksichtigt, so ist die ermittelte Standardabweichung für b lediglich σb=0.001m und entspricht der ursprünglichen Größe.


Varianz der Teilstrecke b mit Berücksichtigung der Kovarianzen
Varianz der Teilstrecke b mit Berücksichtigung der Kovarianzen

Ergebnis

Die Vernachlässigung der Korrelationen führte in den oben gezeigten einfachen Beispiel somit zu einer deutlichen Verzerrung des Ergebnisses. Am Beipsiel der Genauigkeitsberrechnung eines Abstandes aus zwei Punkten wurde gezeigt, dass die Beziehungen zwischen den Eingangsgrößen durch eine vollständige Kovarianzmatrix immer Berücksichtigung finden sollte. Sie stellt jedoch kein Garant für ein besseres (im Sinne von genaueres) Resultat dar sondern liefert vielmehr ein realistisches Ergebnis. Gerade wenn Eingangsgrößen aus verschiedenen Berechnungen und Ausgleichungen kommen, ist es essenziell, dass alle Abhängigkeiten Berücksichtigung finden, um eine zuverlässige Aussage bezüglich der erreichten Genauigkeiten abgeben zu können.

Dieses Beispiel war der anschauliche Teil einer Diskussion im Kaffeezimmer bei mir auf Arbeit für ein komplexeres Problem.

14.07.2008 von Michael Lösler