Buchvorstellung
Buchcover

Er ist ein Mathematiker und also hartnäckig.
Johann Wolfgang von Goethe

Robuste Schätzung des räumlichen Bogenschnitts mit Java Graticule 3D (JAG3D)

Die Methode der kleinsten Quadrate liefert bekanntlich nur dann plausible Werte, wenn das Datenmaterial frei von groben Fehlern ist und die Beobachtungen lediglich ein normalverteiltes Rauschen - im Rahmen ihrer Standardabweichung - aufweisen, vgl. Schätzung der Parameter bei groben Fehlern im Datenmaterial mit dem Excel-Werkzeug Solver.

Gerade bei Prozessautomatisierungen, wo Systeme autonom arbeiten und auswerten sollen, ist es zwingend erforderlich, das Datenmaterial zu analysieren und ggf. zu bereinigen. Auch bei der Ausgleichung geodätischer Netze ist es wünschenswert und hilfreich, wenn Programme dem Anwender Hinweise auf inkonsistente Daten liefern. Am Beispiel eines mehrfachen räumlichen Bogenschnitts soll mit Hilfe der freien Ausgleichungssoftware Java Graticule 3D (JAG3D) demonstriert werden, was Softwarepakete heute problemlos leisten sollten. Als robuster Schätzer sind die auf (Wicki, 1998) zurückgehenden BIBER-Schätzer (Bounded Influence By standardizEd Residuals) implementiert.

Beim räumlichen Bogenschnitt wird die unbekannte 3D-Position eines Neupunktes bestimmt, in dem ausschließlich Raumstrecken zu bekannten Festpunkten gemessen werden. Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn vier Raumstrecken vorliegen oder bei drei Raumstrecken durch eine Zusatzbedingung eine der beiden möglichen Lösungen ausgeschlossen werden kann. Direkte Lösungsverfahren des Problems sind in der Literatur zu finden vgl. (Singer et al., 1993) oder (Norrdine, 2008). Liegen mehr Streckenbeobachtungen vor als zur Bestimmung notwendig, ist die Lösung durch eine Ausgleichsrechnung zu ermitteln. Eine Zerlegung in ein klassisches 2D+H Problem, wie es einige Softwarepakete (intern) machen, ist nicht möglich, sodass die Auswertung in einem 3D-Koordinatensystem erfolgen muss.


Anwendung bei Indoor-Positionierung

Eine praktische Anwendung in der Ingenieurgeodäsie für den überbestimmten räumlichen Bogenschnitt bei der Indoor-Positionierung auf Basis von Ultra Wide Band (UWB) liefern (Blankenbach et al., 2007). Das Verfahren ist dabei in der Lage, Strecken zu Punkten zu bestimmen, bei denen es keine direkte Sichtverbindung gibt. Somit werden auch Messungen zu Punkten durch Baumaterialien (Wände, Decken etc.) in die Lösung mit einbezogen. Gerade bei diesen Messungen kommt es zu grob fehlerhaften Messungen, die vor der Auswertung zu eliminieren sind (Blankenbach und Willert, 2009). Bei der Auswertung wird daher auf das von (Rousseeuw, 1984) publizierte robuste Schätzverfahren des Least-Median-Square (LMS), welchen wir bei der Kreisausgleichung im Detail vorstellen, in Kombination mit einem Reweighted-Least-Square (RLS), welches in (Rousseeuw und Leroy, 2003) detailliert beschrieben ist, zurückgegriffen (Blankenbach et al., 2007). Hierbei handelt es sich um ein extrem robustes Verfahren mit einem sehr hohen Bruchpunkt.


Zahlenbeispiel

Das in (Blankenbach und Willert, 2009) beschriebene Zahlenbeispiel soll als Datengrundlage zur Demonstration einer robusten Ausgleichung in JAG3D genügen. Es liegen Raumstrecken zu acht verschiedenen Festpunkten vor. Bestimmt werden sollen die Koordinaten des Neupunktes der Mobilstation (MS). Die Koordinaten der Festpunkte sind gegeben durch:

Festpunktkoordinaten
Pkt. Rechtswert [m] Hochwert [m] Höhe [m]
51 -8.62 27.42 10.29
37 -4.95 27.30 10.04
31 -4.85 20.69 10.51
102 0.52 22.59 9.77
331 -6.12 25.48 10.92
35 0.45 27.39 10.75
103 0.61 17.19 9.71
101 -7.88 22.45 10.16

Die Raumstrecken (Ist-Strecke), die auf MS gemessen wurden, lauten:

Schrägstrecken gemessen auf MS
Festpunkt Ist-Strecke [m] Soll-Strecke [m] Differenz [cm]
51 8.20 6.87 -133
37 3.85 3.85 0
31 4.35 4.39 4
102 3.51 3.50 -1
331 3.98 3.97 -1
35 4.37 4.36 -1
103 8.17 7.80 -37
101 5.73 5.71 -2

Die Soll-Strecken ergeben sich aus den Soll-Koordinaten für die Mobilstation. Sie lauten MS = [-2.51/24.34/9.77]. Zu erkennen ist, dass zwei grobe Fehler im Datenmaterial vorhanden sind. Zum einen ist die Strecke zum Punkt 51 um über 1.3m falsch und zum anderen weist die Strecke zum Punkt 103 eine Differenz von fast 40cm auf. Zusätzlich liegt mit MS0 = [-2.59/24.22/9.62] eine schlechte Näherungskoordinate für die Mobilstation vor, die aus den Messungen zu den Festpunkten 102, 331 und 103 abgeleitet wurde. Durch den groben Fehler in der Streckenmessung zum Festpunkt 103 wird die Näherung um mehr als 20cm verschoben.

Der Datenimport in JAG3D erfolgt über das Kontextmenü der jeweiligen Punkt- bzw. Beobachtungsgruppe im Baummenü. Für eine Robuste Schätzung mit JAG3D ist in den Haupteinstellungen die Option Robuste Ausgleichung durchführen zu aktivieren. Da JAG3D neben den robusten BIBER-Schätzern auch die klassischen Testgrößen (Normierte Verbesserung und t-Test) zum Aufdecken von möglichen Fehlern im Datenmaterial nutzt, die sich aus den a-priori bzw. a-posteriori Genauigkeiten der Messelemente ableiten, sind für die Strecken entsprechende Unsicherheiten vorzugeben. Die Genauigkeit der Streckenmessung geben (Blankenbach und Willert, 2009) mit 0.01-0.10m an. Wir wählen deshalb eine globale Standardabweichung für die Schrägstrecken von 5cm in JAG3D, vgl. nachfolgenden Screenshot.


Eingangsdaten zur Berechnung des räumlichen Bogenschnitts in JAG3D (v.o.n.u. Festpunkte, Neupunkt, Schrägstrecken)
Eingangsdaten zur Berechnung des räumlichen Bogenschnitts in JAG3D

Dass die Berechnung einer kleinsten Quadrate Ausgleichung aufgrund der groben Fehler scheitern wird, konnte bereits am Beispiel der Höhennetzausgleichung demonstriert werden. Dem interessierten Leser bleibt es hier überlassen, dies zu prüfen.

Werden nun die Ergebnisse der Streckenmessung nach der Ausgleichung betrachtet, so werden trotz der schlechten Näherung für die Mobilstation die beiden Strecken zum Festpunkt 51 bzw. 103 als Ausreißer ausgewiesen.


Ergebnis der robusten Parameterschätzung in JAG3D (Streckenmessung)
Ergebnis der robusten Parameterschätzung in JAG3D (Streckenmessung)

Die geschätzten Strecken nach der robusten Ausgleichung liegen für die beiden groben Fehler mit s51=6.864m und s103=7.815m nahe an den o.a. Soll-Werten. Da es sich bei den groben Fehlern um einen Messfehler handelt, der sich nachträglich nicht korrigieren lässt, sind beide Beobachtungen zu deaktivieren und die Ausgleichung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate anschließend erneut durchzuführen, um die endgültige Koordinate für die Mobilstation zu bestimmen.


Fazit

Die Ausgleichung von echten räumlichen Netzen ist für Anwendungen in der Ingenieurgeodäsie zwingend erforderlich, da sich diese Aufgaben nicht auf das klassische 2D+H Problem reduzieren lassen. Darüber hinaus ist der Einsatz von robusten Schätzern, die weitgehend unempfindlich gegenüber groben Fehlern im Beobachtungsmaterial sind, gerade bei automatisierten Prozessen unabdingbar. Am Beispiel des überbestimmten räumlichen Bogenschnitts, bei dem neben zwei groben Beobachtungsfehlern auch eine schlechte Näherungskoordinate für den Neupunkt vorlagen, wurde exemplarisch mit der freien Ausgleichungssoftware JAG3D gezeigt, was moderne Programme imstande sein sollten zu leisten, um zuverlässige Ergebnisse abzuleiten. Alle gezeigten Ergebnisse wurden mit der Version v2.0.20091221 von Java Graticule 3D (JAG3D) abgeleitet. Bei Fragen und Anregungen steht das Forum Vermessung kostenlos zur Verfügung.

Das JAG3D hierbei äquivalente Ergebnisse zu kommerziellen Produkten liefert, zeigt der Vergleich der Ergebnisse verschiedener Netzausgleichungsprogramme untereinander.


Quellen

Verwendete Literatur, die nicht der Bibliothek entnommen ist:

  • Blankenbach, J., Willert, V. (2009), Robuster räumlicher Bogenschnitt - Ein Ansatz zur robusten Positionsberechnung in Indoor-Szenarien, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN)
  • Blankenbach, J., Norrdine, A., Schlemmer, H., Willert, V. (2007), Indoor-Positionierung auf Basis von Ultra Wide Band, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN)
  • Norrdine, A. (2008), Direkte Lösung des Räumlichen Bogenschnitts mit Methoden der Linearen Algebra, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN)
  • Rousseeuw, P.J. (1984), Least Median of Squares Regression, Journal of the American Statistical Association
  • Singer, P., Ströbel, D., Hördt, R., Bahndorf, J., Linkwitz, K. (1993), Direkte Lösung des räumlichen Bogenschnitts, Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformatik und Landmanagement (ZfV)

07.01.2010 von Michael Lösler