Buchvorstellung
Buchcover

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.
Ernst Mach

Stufenweise Ausgleichung durch kontinuierliche Erweiterung des Beobachtungsvektors

Bei einigen Auswerteaufgaben fallen die Beobachtungen erst nach und nach an. Ein oft in diesem Zusammenhang gebrachtes Beispiel ist eine Netzausgleichung, bei der sich nach der ersten Auswertung der bisherigen Daten ergibt, dass bestimme Genauigkeitskriterien nicht eingehalten werden konnten. Bei der Auswertung der deshalb durchgeführten Nachmessung soll nun auf das bisherig erzielte Ergebnis zurückgegriffen werden, anstatt die gesamte Ausgleichung erneut durchzuführen. Ich persönlich kenne keinen Fall, wo dies jedoch so praktiziert wird. Mir ist auch kein Ausgleichungsprogramm bekannt, dass derartige Optionen berücksichtigt. Ein praxisnäheres Beispiel ergibt sich aus der Vorstellung nach und nach anfallender Beobachtungen. Eine vorläufige Schätzung kann sinnvoll sein um bspw. abzuschätzen, ob überhaupt noch weitere Messungen notwendig sind oder bereits eine vorgegebene Schranke unterschritten wurde. Ein Beispiel für diese Art der Anwendung könnte eine zu ermittelnde GNSS-Position sein. Durch die permanente Auswertung der bereits vorliegenden Beobachtungen erhält der Anwender neben der Position auch Information zur bisher erreichten Genauigkeit. Des Weiteren ist es denkbar, Gleichungssysteme mit einer Vielzahl an Beobachtungen sequentiell zu lösen und somit Speicherbelastung und Rechenaufwand zu optimieren.


Rekursive Parameterschätzung

In der Literatur wird diese Art der Parameterschätzung häufig auch als rekursiv bezeichnet, da sich die verbesserte Schätzung xi aus der Verknüpfung zur bereits zuvor berechneten Schätzung xi-1 ergibt (Koch 2004). Die Ausgangssituation ist ein klassisches Gauß-Markov-Modell, in dem A die Jacobi-Matrix, l der (gekürzte) Beobachtungsvektor, P die zugehörige Gewichtsmatrix und x der Vektor der unbekannten Parameter ist.


Gauß-Markov-Modell
Gauß-Markov-Modell

Unter der Voraussetzung, dass A vollen Spaltenrang hat, ergibt sich die Lösung von x1 aus:


Lösungsvektor des Gauß-Markov-Modells
Lösungsvektor des Gauß-Markov-Modells

Werden weitere Beobachtungen l2 dem Modell hinzugefügt, so ergibt sich ein erweitertes Gauß-Markov-Modell mit folgender Struktur, wobei unabhängige Beobachtungen vorausgesetzt werden.


Erweitertes Gauß-Markov-Modell
Erweitertes Gauß-Markov-Modell

Die Normalgleichung des erweiterten Modells gewinnt man somit aus der Akkumulation der Teil-Normalgleichungen:


Erweiterte Normalgleichung
Erweiterte Normalgleichung

selbiges gilt auch für den Absolutgliedvektor n


Erweiterter Absolutgliedvektor
Absolutgliedvektor

Die inverse Normalgleichung des erweiterten Systems leitet sich unter Ausnutzung der bereits bekannten (und invertierten) Normalgleichung der vorangegangenen Ausgleichung N1 mittels der Woodbury-Matrix-Identität ab (Caspary & Wichmann 2007).


Inverse mittels Woodbury-Matrix-Identität
Inverse mittels Woodbury-Matrix-Identität

Die Matrix K wird dabei als Gain- oder Blending-Matrix bezeichnet (Welch & Bishop 1995).

Die rekursive Schätzung des unbekannten Vektors lautet:


Rekursive Bestimmung des Lösungsvektors
Rekursive Bestimmung des Lösungsvektors

worin w den Widerspruch zwischen den neuen Beobachtungen l2 und den aus der vorläufigen Schätzung x1 abgeleiteten Beobachtungen beschreibt (Kutterer & Neumann 2010). Der Vektor w wird häufig auch als Innovation bezeichnet (Welch & Bishop 1995).

Neben den Parametern, ändern sich auch die geschätzten Varianzen und Kovarianzen der unbekannten Parameter. Die Verbesserungen im Gauß-Markov-Modell ergeben sich aus:


Verbesserungen im Gauß-Markov-Modell
Verbesserungen

Durch die Hinzunahme weiterer Beobachtungen ändern sich die zunächst geschätzten Parameter x und damit einhergehend auch die Verbesserungen v1. Darüber hinaus sind auch für die nachträglich hinzugefügten Beobachtungen l2 Verbesserungen v2 verfügbar.


Verbesserungen im erweiterten Gauß-Markov-Modell
Erweiterte Verbesserungen

Die Quadratsumme der Verbesserungen ergibt sich somit aus:


Verbesserungsquadratsumme
Verbesserungsquadratsumme

Insbesondere für den Fall, dass jeweils nur eine weitere Beobachtung zum Gleichungssystem hinzugefügt wird, vereinfachen sich die genannten Formeln. Caspary & Wichmann (2007) führen darüber hinaus auch die Möglichkeit auf, bestimme Beobachtungen wieder aus dem Gleichungssystem zu eliminieren.


Sequentielle Schätzung von Kreisparametern

Rotative Bewegungen werden gegenwärtig häufig genutzt, um Positionen bzw. Orientierungen zu bestimmen (vgl. z.B. Hennes & Richter 2008; Paffenholz & Kutterer 2009). Aus diskreten Punkten werden die Kreisparameter bestimmt und anhand dieser Parameter können Orientierungsparameter und Positionen abgeleitet werden. Die dabei zu ermittelnden Kreispunkte fallen nach und nach an, sodass sich eine sequenzielle Schätzung förmlich aufdrängt. Für eine Demonstration der eingangs hergeleiteten Formeln soll daher eine Kreisausgleichung in der Ebene dienen. Die allgemeine Kreisgleichung lautet:


Kreisgleichung in der Ebene
Kreisgleichung

worin Pi ein beliebiger Punkt auf dem Kreis, P0 der Kreismittelpunkt und r der Radius sind. Ausgehend von einem ungewichteten Gauß-Markov-Modell werden die partiellen Ableitungen nach den unbekannten Kreisparametern in der Jacobi-Matrix A zusammengefasst.


Designmatrix für Kreisausgleichung
Designmatrix zur Kreisschätzung

Die erste Näherung für den zu schätzenden Kreis kann dabei aus den ersten drei Punktbeobachtungen abgeleitet werden. Ein hierfür geeignetes analytisches Verfahren wurde bei der Vorstellung der robusten Kreisausgleichung mittels Least-Median-Square hergeleitet. Bei einer guten Verteilung von mehr als drei Kreispunkten ist idR. auch der Schwerpunkt und der mittlere Abstand der Kreispunkt zu diesem als erste Näherung für den Kreismittelpunkt bzw. Radius hinreichend genau, um als Startwerte für die zu schätzenden Kreisparameter zu dienen (Ahn 2004).

Nach der Initiallösung seien weitere Kreispunkte vorhanden, die kontinuierlich bspw. mittels Globales Navigationssatellitensysteme (GNSS) ermittelt wurden, sodass eine rekursive Parameterschätzung erfolgt. Anhand der ermittelten Standardabweichung der Kreisparameter kann abgeschätzt werden, wie lange weitere Beobachtungen ins Modell eingeführt werden müssen.


Beispiel einer rekursiven Kreisausgleichung
Rekursive Kreisausgleichung

Die oben stehende Abbildung zeigt neben der Initiallösung (Blau) die ersten drei Rekursionsschritte (Rot, Magenta und Grün). In jedem Schritt wurde stets nur ein weiterer Punkt ins Modell eingeführt, sodass letztendlich sechs Punkte vorliegen. Die Soll-Werte lauten für den Kreismittelpunkt P0 = [5/10] und für den Radius r=25. Als Messrauchen wurde jeweils 1m in den einzelnen Koordinatenkomponenten angenommen.

Für eine nummerische Demonstration dieses Beispiels wird nun ein JavaScript verwendet, welches zum einen die Beobachtungen simuliert und zu anderen die Kreisparameter schätzt. Wiederum wird allen Beobachtungen ein normalverteiltes Rauschen auf moduliert. Für diese Onlinesimulation muss JavaScript im Browser aktiviert sein.


 


Fazit

In der animierten Graphik ist gut zu erkennen, dass bereits nach wenigen Beobachtungen der geschätzte Kreis kaum noch Änderungen erfährt. Je mehr Kreispunkte dem Modell hinzugefügt werden, desto stabiler wird die Lösung. Auch gut zu erkennen ist, dass die Standardabweichung der geschätzten Kreisparameter kontinuierlich abnimmt. Dies liegt zum einen an der stets steigenden Beobachtungsanzahl und zum anderen an der Annahme, dass die Kreispunkte vollständig (stochastisch) unabhängig voneinander sind.
In Einzelfällen schlägt die Schätzung auch fehl; insbesondere dann, wenn die ersten drei Kreispunkte für die Initialisierung geometrisch sehr ungünstig verteilt sind.

Das rekursive Lösen von Gleichungssystemen empfiehlt sich überall dort, wo Messwerte kontinuierlich bzw. sequenziell anfallen und wo nicht auf den letzten Messwert gewartet werden soll oder muss. Durch die echtzeitnahe Berechnung gerade bei wenigen Beobachtungen, die nachträglich mit einem Mal ins Modell eingeführt werden, eignet sich dieses Verfahren für kinematische Anwendungen. Am Beispiel der Kreisausgleichung wurde dies anschaulich demonstriert. Das oben beschriebene Verfahren ist in vielerlei Hinsicht mit dem Kalman-Filter verwandt, welches auch die zeitliche Entstehung der Daten berücksichtigt.


Quellen

Verwendete Literatur, die nicht der Bibliothek entnommen ist:

  • Hennes, M., Richter, R. (2008), A-TOM – eine neuartige instrumentelle Lösung für die hochpräzise und echtzeitnahe 6DOF-Bestimmung, Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN).
  • Koch, K.-R. (2004), Parameterschätzung und Hypothesentests in linearen Modellen. Dümmler Verlag, Bonn.
  • Kutterer, H., Neumann, I. (2010), Recursive Least-Squares Estimation in Case of Interval Observation Data. 4th International Workshop on Reliable Engineering Computing.
  • Paffenholz, J.-A., Kutterer, H. (2009), Untersuchung von Positions- und Orientierungsinformationen abgeleitet aus kinematischen GNSS Trajektorien. Geodätische Woche 22.-24. Sep. 2009, Karlsruhe.
  • Welch, G., Bishop, G. (1995), An Introduction to the Kalman Filter. zuletzt besucht: 25. Juli 2011.

26.07.2011 von Michael Lösler