Buchvorstellung
Buchcover

Er ist ein Mathematiker und also hartnäckig.
Johann Wolfgang von Goethe

Verfahren zur Bestimmung eines Neupunktes mittels Rückwärtsschnitt inkl. Genauigkeitsabschätzung korrelierter Beobachtungen durch Monte-Carlo-Simulation

Der Rückwärtsschnitt ist ein gängiges Berechnungsverfahren zur Koordinatenbestimmung eines Neupunktes N. Zu mindestens drei koordinatenmäßig bekannten Punkten A, B und C müssen hierzu die Richtungen, die auf N gemessen wurden, vorliegen, um selbigen zu bestimmen. Eine Standardaufgabe der geodätischen Rechenverfahren, die seit Jahrzehnten bereits zuverlässig gelöst sein sollte, möchte man meinen. Dass es dennoch kein alter Hut zu sein scheint, zeigt ein aktueller Artikel von Font-Llagunes und Batlle (2009), die ein weiteres Verfahren vorstellen und sich somit in einer Liste einreihen, die bereits weit über 500 Lösungsverfahren zum Rückwärtsschnitt enthält. In diesem Artikel soll das von Font-Llagunes und Batlle (2009) vorgestellte Verfahren mit zwei - ich nenne sie mal - Standardlösungen:

  • Lösung nach Cassini (Petrahn, 2003, Baumann, 1993),
  • Lösung nach Collins (Witte und Schmidt, 2000)

verglichen werden. Zum einen in den erzielten Ergebnissen und zum anderen bezüglich ihrer Genauigkeiten. In beiden Fällen sollten die drei Verfahren (im Rahmen einer gewissen Rechenschärfe) zu identischen Lösungen kommen. Unterschiede sind jedoch zu erwarten, wenn das Lösen nummerisch instabil ist. Beim Rückwärtsschnitt tritt diese Situation ein, wenn die drei Festpunkte (A, B, und C) und der Neupunkt N (näherungsweise) auf einem Kreis liegen - dem gefährlichen Kreis. Für eine detaillierte Herleitung der Formeln der einzelnen Lösungswege sei auf die angegebenen Quellen verwiesen. In diesem Beitrag sollen lediglich die Ergebnisse (Koordinaten des Neupunkes N und dessen Standardabweichung), die die einzelnen Verfahren liefern, ermittelt werden. Hierzu wurden alle drei Verfahren als JavaScript programmiert, sodass eine Berechnung direkt online erfolgen kann. Das Ableiten der Unsicherheiten erfolgt zweckmäßigerweise mit der Monte-Carlo-Methode, wobei die hierfür erzeugten Zufallszahlen für jedes Verfahren genutzt werden.


Schematische Darstellung des Rückwärtsschnitt
Schematische Darstellung des Rückwärtsschnitt

In der Annahme, dass die Winkel α und β aus geodätischen Richtungsmessungen (r1, r2 und r3) abgeleitet werden, die bei einer Satzmessung entstanden sind, müssen Korrelationen zwischen den Winkeln berücksichtigt werden.


Berechnung der Winkel aus Richtungsmessung
Winkel aus Richtungen

Die Kovarianzmatrix Cαβ der Winkel lässt sich bei einer gegeben Standardabweichung der Richtung σr einfach aus dem Varianzfortpflanzungsgesetz ableiten und bei der Monte-Carlo-Methode, wie bereits gezeigt, berücksichtigten.


Kovarianzmatrix der Winkel α und β nach Varianzfortpflanzungsgesetz
Kovarianzmatrix der Winkel α und β nach Varianzfortpflanzungsgesetz

Rückwärtsschnitt nach Cassini, Collins und Font-Llagunes & Batlle

Das (Initialisierungs-)Beispiel, welches in der nachfolgenden Tabelle enthalten ist, stammt aus Font-Llagunes und Batlle (2009)

Beispiel
Festpunkt Rechtswert (Y) Hochwert (X)
A 10.0 m 0.0 m
B -5.0 m -8.6603 m
C -5.0 m 8.6603 m
Winkel Messwert
αA,B 121.3907 gon
βB,C 111.4276 gon
Richtung Standardabweichung
σr 0.005 gon

Ergebnis nach Cassini

Die Berechnung nach Cassini ergab:

Ergebnis nach Cassini
Koordinate Kovarianzmatrix
X [m] 2.0000000
+0.0000003492 	-0.0000002078 	
-0.0000002078 	+0.0000007256 	
Y [m] 2.0000000

Ergebnis nach Collins

Die Berechnung nach Collins ergab:

Ergebnis nach Collins
Koordinate Kovarianzmatrix
X [m] 2.0000000
+0.0000003492 	-0.0000002078 	
-0.0000002078 	+0.0000007256 	
Y [m] 2.0000000

Ergebnis nach Font-Llagunes & Batlle

Die Berechnung nach Font-Llagunes & Batlle ergab:

Ergebnis nach Font-Llagunes & Batlle
Koordinate Kovarianzmatrix
X [m] 2.0000000
+0.0000003492 	-0.0000002078 	
-0.0000002078 	+0.0000007256 	
Y [m] 2.0000000

Resümee

Der Rückwärtsschnitt ist ein klassisches Verfahren zur Bestimmung eines Neupunktes. Über 500 Verfahren sind zur Lösung dieser Aufgabe bekannt (Font-Llagunes und Batlle, 2009). Die Verfahren nach Cassini oder Collins können als state-of-the-art bezeichnet werden und wurden in diesem Beitrag mit dem von Font-Llagunes und Batlle (2009) publizierten Lösungsalgorithmus verglichen. Hierzu wurden alle drei Verfahren als JavaScript programmiert. Um neben den Koordinaten des zu bestimmenden Neupunktes auch das Unsicherheitsbudget vergleichen zu können, wurde mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode die Genauigkeit des Rückwärtsschnitt abgeleitet. Dabei wurde eine Korrelation zwischen den Winkeln angenommen und die vollbesetzte Kovarianzmatrix für den Neupunkt abgeleitet. Bei allen getesteten Beispielen konnte erwartungsgemäß zwischen den drei Verfahren kein Unterschied bei den Ergebnissen festgestellt werden. Auch aus nummerischer Sicht erwies sich keins der Verfahren als besonders geeignet. Es bleibt somit dem Anwender überlassen, welches Verfahren er vorzieht um die Koordinaten eines Punktes mittels Rückwärtsschnitt zu bestimmen.


Quellen

Verwendete Literatur, die nicht der Bibliothek entnommen ist:

  • Font-Llagunes, J., Batlle, A. (2009), New Method that solves the Three-Point Resection Problem using Straight Lines Intersection, Journal of Surveying Engineering

10.10.2009 von Michael Lösler