Die Geodäten
Geodäsie und Geoinformatik — Die Grenzen sind abgesteckt…

Der Rückwärtsschnitt ist ein gängiges Berechnungsverfahren zur Koordinatenbestimmung eines Neupunktes N. Zu mindestens drei koordinatenmäßig bekannten Punkten A, B und C müssen hierzu die Richtungen, die auf N gemessen wurden, vorliegen, um selbigen zu bestimmen. Eine Standardaufgabe der geodätischen Rechenverfahren, die seit Jahrzehnten bereits zuverlässig gelöst sein sollte, möchte man meinen. Dass es dennoch kein alter Hut zu sein scheint, zeigt ein aktueller Artikel von Font-Llagunes und Batlle (2009), die ein weiteres Verfahren vorstellen und sich somit in einer Liste einreihen, die bereits weit über 500 Lösungsverfahren zum Rückwärtsschnitt enthält. In diesem Artikel soll das von Font-Llagunes und Batlle (2009) vorgestellte Verfahren mit zwei - ich nenne sie mal - Standardlösungen:

• Lösung nach Cassini (Petrahn, 2003, Baumann, 1993),
• Lösung nach Collins (Witte und Schmidt, 2000)

verglichen werden. Zum einen in den erzielten Ergebnissen und zum anderen bezüglich ihrer Genauigkeiten. In beiden Fällen sollten die drei Verfahren (im Rahmen einer gewissen Rechenschärfe) zu identischen Lösungen kommen. Unterschiede sind jedoch zu erwarten, wenn das Lösen nummerisch instabil ist. Beim Rückwärtsschnitt tritt diese Situation ein, wenn die drei Festpunkte (A, B, und C) und der Neupunkt N (näherungsweise) auf einem Kreis liegen - dem gefährlichen Kreis. Für eine detaillierte Herleitung der Formeln der einzelnen Lösungswege sei auf die angegebenen Quellen verwiesen. In diesem Beitrag sollen lediglich die Ergebnisse (Koordinaten des Neupunkes N und dessen Standardabweichung), die die einzelnen Verfahren liefern, ermittelt werden. Hierzu wurden alle drei Verfahren als JavaScript programmiert, sodass eine Berechnung direkt online erfolgen kann. Das Ableiten der Unsicherheiten erfolgt zweckmäßigerweise mit der Monte-Carlo-Methode, wobei die hierfür erzeugten Zufallszahlen für jedes Verfahren genutzt werden.

Schematische Darstellung des Rückwärtsschnitt

In der Annahme, dass die Winkel α und β aus geodätischen Richtungsmessungen (r₁, r₂ und r₃) abgeleitet werden, die bei einer Satzmessung entstanden sind, müssen Korrelationen zwischen den Winkeln berücksichtigt werden.

Berechnung der Winkel aus Richtungsmessung

Die Kovarianzmatrix C_αβ der Winkel lässt sich bei einer gegeben Standardabweichung der Richtung σ_r einfach aus dem Varianzfortpflanzungsgesetz ableiten und bei der Monte-Carlo-Methode, wie bereits gezeigt, berücksichtigten.

Kovarianzmatrix der Winkel α und β nach Varianzfortpflanzungsgesetz