Buchvorstellung
Buchcover

Er ist ein Mathematiker und also hartnäckig.
Johann Wolfgang von Goethe

Ermittlung von Messunsicherheiten nach der Monte-Carlo-Methode

Nicht immer lässt sich die Genauigkeit einer Größe mit erträglichen Aufwand nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz bestimmen. Gerade bei komplexen Problemen steigt der Aufwand, der Betrieben werden muss um die partiellen Ableitungen zu bilden, zum Teil erheblich. Da sich die Genauigkeit einer Zufallsgröße - im Allgemeinen repräsentiert durch eine Standardabweichung - ein Maß für dessen Streuung um einen Mittelwert ist, lässt sich dies auch über ein Zufallsexperiment empirisch ableiten. Bei einer ausreichend großen Stichprobenanzahl wird sich das Ergebnis aus dem Zufallsexperiment mit dem, welches nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ermittelt wurde, angleichen. Eine solche Simulation wird in der Literatur als Monte-Carlo-Simulation bezeichnet. Voraussetzung für diese Simulation ist, dass die (funktionale) Beziehung und a-priori Genauigkeiten (und dessen Verteilungen) für die gesuchte Größe vorliegen. Ein einfaches Beispiel soll die Funktionsweise erläutern und die Ergebnisse mit den aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz vergleichen.


Berechnungsbeispiel

Gesucht ist der Umfang eines geschlossenen, regelmäßigen, n-eckigen Polygons, der sich als Summe aller Teilstrecken s zwischen den Stützpunkten ergibt und dessen Standardabweichung σU.


Polygonumfang
Polygonumfang

Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass nur der Abstand r=10m vom Zentrum des Polygons zu den einzelnen Stützpunkt mit einem normalverteilten Fehler behaftet ist und die Abstände untereinander nicht korreliert sind. Die Genauigkeit der Strecke ist vom Hersteller mit σr=2cm gegeben. Die Berechnung der Strecken s zwischen den n=20 Stützpunkten kann über verschiedene geometrische Überlegungen ermittelt werden, wie bspw. den Satz des Pythagoras unter Verwendung von Polarkoordinaten (α=Azimutwinkel):


Polygonstrecken nach Pythagoras
Polygonstrecken nach Pythagoras

oder über den Kosinussatz (ɣ=Innenwinkel).


Polygonstrecken nach Kosinussatz
Polygonstrecken nach Kosinussatz

Er beträgt UPolygon = 62.574m.


Ausschnitt eines n-eckigen, regelmaßigen Polygons
Ausschnitt eines n-eckigen, regelmaßigen Polygons

Für die Berechnung der Standardabweichung des Umfangs nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz sind die partiellen Ableitungen nach den einzelnen gemessenen Strecken r notwendig und in der Designmatrix A zu hinterlegen. Bei Verwendung des Satz des Pythagoras lauten diese:


Partielle Ableitung (Pythagoras)
Partielle Ableitung (Pythagoras)

wird der Zusammenhang über den Kosinussatz beschrieben lauten sie:


Partielle Ableitung (Kosinussatz)
Partielle Ableitung (Kosinussatz)

Auch wenn die hier gezeigten partiellen Ableitungen noch im überschaubaren Rahmen liegen, so ist wohl unschwer vorstellbar, dass komplexere Probleme zu weit größeren Gleichungen führen.


Bestimmung der Messunsicherheit

Die quadrierten Standardabweichungen σr (Varianzen) der einzelnen Strecken sind auf der Diagonalen der Kovarianzmatrix Crr zu hinterlegen. Die Nebendiagonalelemente sind Null, da Korrelationen zwischen den Größen nicht gegeben sind (Crrr2I; I=Einheitsmatrix) . Die Standardabweichung des Umfangs ergibt sich dann direkt aus der Wurzel von


Varianz des Umfangs nach FFG
Varianz des Umfangs nach FFG

und beträgt σU = 0.028m.
Für die Monte-Carlo-Simulation benötigt man eine sehr große Stichprobe m (z.B. m=100000), um ein gesichertes Ergebnis zu erhalten. Allgemein gilt: Je größer desto besser. Für die Simulation müssen die gemessenen Strecken r zunächst verrauscht werden.


Erzeugen von Zufallsstrecken r
Erzeugen von Zufallsstrecken r

Die Funktion randn() soll hierbei n standardnormalverteilte Zufallszahlen (N(0,1)) liefern. Die meisten Programmiersprachen bieten hierfür bereits eine fertige Implementierung. 
Mit den so erzeugten Werten wird nun der Umfang bestimmt und zwischengespeichert. Das ganze wird nun m-mal analog durchgeführt, wobei die Strecken r in jeder Iteration neu ermittelt werden. Aus dieser Stichprobengröße m, ist nun die zugehörige Standardabweichung zu ermitteln. Diese ergibt - natürlich in Abhängigkeit der Stichprobenanzahl - die (nahezu) gleiche Standardabweichung, die auch mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz zuvor ermittelt wurde:


Standardabweichung des Umfangs
Standardabweichung des Umfangs

Ergebnis

Das Resultat, welches mittels dem Fehlerfortpflanzungsgesetz bestimmt wurde, lässt sich auch über die Monte-Carlo-Simulation nachvollziehen. Gibt es einen linearen funktionalen Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen und den gesuchten Parametern, liefert das Fehlerfortpflanzungsgesetz stets den exakten Wert, bei nicht-lineanren Zusamenhängen hingegen nur eine Näherungslösung. Mit der Monte-Carlo-Simulation kann in Abhängigkeit der Stichprobengröße eine hinreichend genaue Lösung auch bei nicht-linearen Zusammenhängen bestimmt werden.

Bei der Bestimmung von Messunsicherheiten ist daher abzuwägen, ob der ggf. hohe Aufwand beim Bilden der partiellen Ableitungen im Rahmen der Linearisierung fürs Fehlerfortpflanzungsgesetz gegenüber der langen Berechnungszeit, die die Monte-Carlo-Simulation aufgrund der großen Stichprobenanzahl zwingend benötigt, gerechtfertigt ist.

Zur Bestimmung von Kovarianzen sei auf den 2. Teil dieses Artikels: Bestimmung der vollständigen Varianz-Kovarianz-Matrix mittels Monte-Carlo-Simulation hingewiesen.

13.11.2008 von Michael Lösler