- Fehlerfortpflanzung vs. Monte-Carlo-Simulation bei der Ermittlung von Messunsicherheiten
- Berechnungsbeispiel
Gesucht ist der Umfang eines geschlossenen, regelmäßigen, n-eckigen Polygons, der sich als Summe aller Teilstrecken s zwischen den Stützpunkten ergibt und dessen Standardabweichung σU.
PolygonumfangWir nehmen der Einfachheit halber an, dass nur der Abstand r=10m vom Zentrum des Polygons zu den einzelnen Stützpunkt mit einem normalverteilten Fehler behaftet ist und die Abstände untereinander nicht korreliert sind. Die Genauigkeit der Strecke ist vom Hersteller mit σr=2cm gegeben. Die Berechnung der Strecken s zwischen den n=20 Stützpunkten kann über verschiedene geometrische Überlegungen ermittelt werden, wie bspw. den Satz des Pythagoras unter Verwendung von Polarkoordinaten (α=Azimutwinkel):
Polygonstrecken nach Pythagorasoder über den Kosinussatz (ɣ=Innenwinkel).
Polygonstrecken nach KosinussatzEr beträgt UPolygon = 62.574m.
Ausschnitt eines n-eckigen, regelmaßigen PolygonsFür die Berechnung der Standardabweichung des Umfangs nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz sind die partiellen Ableitungen nach den einzelnen gemessenen Strecken r notwendig und in der Designmatrix A zu hinterlegen. Bei Verwendung des Satz des Pythagoras lauten diese:
Partielle Ableitung (Pythagoras)wird der Zusammenhang über den Kosinussatz beschrieben lauten sie:
Partielle Ableitung (Kosinussatz)Auch wenn die hier gezeigten partiellen Ableitungen noch im überschaubaren Rahmen liegen, so ist wohl unschwer vorstellbar, dass komplexere Probleme zu weit größeren Gleichungen führen.
- Bestimmung der Messunsicherheit
Die quadrierten Standardabweichungen σr (Varianzen) der einzelnen Strecken sind auf der Diagonalen der Kovarianzmatrix Crr zu hinterlegen. Die Nebendiagonalelemente sind Null, da Korrelationen zwischen den Größen nicht gegeben sind (Crr=σr2I; I=Einheitsmatrix) . Die Standardabweichung des Umfangs ergibt sich dann direkt aus der Wurzel von
Varianz des Umfangs nach FFGund beträgt σU = 0.028m.
Für die Monte-Carlo-Simulation benötigt man eine sehr große Stichprobe m (z.B. m=100000), um ein gesichertes Ergebnis zu erhalten. Allgemein gilt: Je größer desto besser. Für die Simulation müssen die gemessenen Strecken r zunächst verrauscht werden.
Erzeugen von Zufallsstrecken rDie Funktion randn() soll hierbei n standardnormalverteilte Zufallszahlen (N(0,1)) liefern. Die meisten Programmiersprachen bieten hierfür bereits eine fertige Implementierung.
Mit den so erzeugten Werten wird nun der Umfang bestimmt und zwischengespeichert. Das ganze wird nun m-mal analog durchgeführt, wobei die Strecken r in jeder Iteration neu ermittelt werden. Aus dieser Stichprobengröße m, ist nun die zugehörige Standardabweichung zu ermitteln. Diese ergibt - natürlich in Abhängigkeit der Stichprobenanzahl - die (nahezu) gleiche Standardabweichung, die auch mit dem Fehlerfortpflanzungsgesetz zuvor ermittelt wurde:
Standardabweichung des Umfangs- Ergebnis
Das Resultat, welches mittels dem Fehlerfortpflanzungsgesetz bestimmt wurde, lässt sich auch über die Monte-Carlo-Simulation (näherungsweise) bestimmen. Gibt es einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Eingangsgrößen und den gesuchten Parametern, liefert das Fehlerfortpflanzungsgesetz vermutlich stets den exakten Wert. Mit der Monte-Carlo-Simulation kann jedoch in Abhängigkeit der Stichprobengröße eine hinreichend gute Näherung bestimmt werden. Bei der Bestimmung von Messunsicherheiten ist daher abzuwägen, ob der ggf. enorme Aufwand beim Bilden der partiellen Ableitungen fürs Fehlerfortpflanzungsgesetz gegenüber der langen Berechnungszeit, die die Monte-Carlo-Simulation aufgrund der großen Stichprobenanzahl zwingend benötigt, gerechtfertigt ist.
Zur Bestimmung von Kovarianzen sei auf den 2. Teil dieses Artikels: Bestimmung der vollständigen Varianz-Kovarianz-Matrix mittels Monte-Carlo-Simulation hingewiesen.
Michael Lösler, 13.11.2008
Nicht immer lässt sich die Genauigkeit einer Größe mit erträglichen Aufwand nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz bestimmen. Gerade bei komplexen Problemen steigt der Aufwand, der Betrieben werden muss um die partiellen Ableitungen zu bilden, zum Teil erheblich. Da sich die Genauigkeit einer Zufallsgröße - im Allgemeinen repräsentiert durch eine Standardabweichung - ein Maß für dessen Streuung um einen Mittelwert ist, lässt sich dies auch über ein Zufallsexperiment empirisch ableiten. Bei einer ausreichend großen Stichprobenanzahl wird sich das Ergebnis aus dem Zufallsexperiment mit dem, welches nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz ermittelt wurde, angleichen. Eine solche Simulation wird in der Literatur als Monte-Carlo-Simulation bezeichnet. Voraussetzung für diese Simulation ist, dass die (funktionale) Beziehung und a-priori Genauigkeiten (und dessen Verteilungen) für die gesuchte Größe vorliegen. Ein einfaches Beispiel soll die Funktionsweise erläutern und die Ergebnisse mit den aus dem Fehlerfortpflanzungsgesetz vergleichen.
