negative Kovarianzen weiter verwenden?

Hallo liebe Leute,

ein kleines, vielleicht auch nur philosophisches Problem:

Ich habe auch mehreren Ausgleichungen Koordinaten für einen Punkt P=(x,y,z). Dazu habe ich auch die Qxx Matrix (und auch die Kovarianzmatrix und s0^2) für jedes Ergebnis.

Nun möchte ich alle Ergebnisse sauber und richtig zusammenfassen und zum Schluß wieder Varianzen angeben können.

Mein Ansatz lautet:

$A^\top P A m = A^\top P l$

mit

$m = ( \overline{x} \overline{y} \overline{z} )^\top$
(ich nenne den Ergebnisvektor mal "m" um Verwechslungen vorzubeugen)

$l = (x_1 y_1 z_1 x_2 y_2 z_2 ...)^\top$

$P = 1/Qxx$
(also die Gewichte sollen die Kehrwerte der Einträge von Qxx sein)

A = [ 1 0 0 ; 0 1 0 ; 0 0 1 ; ...]

damit

$m = (A^\top P A)^{-1} A^\top P l$

soweit so gut. Ermittle ich nun aber die Varianzen aus dieser Miniausgleichung:

v = P*(A * m - y); % Vektor der Verbesserungen
N = A'*P*A; % Normalengleichungsmatrix
Qxx = inv(N); % Kofaktorenmatrix
R = I - A * Qxx * A' * P; % Redundanzmatrix
r = trace(R); % Anzahl der Überbestimmungen
s02 = 1/r * (v'*P*v); % empirische Varianz
C = s02 * Qxx; % Kovarianzmatrix

so bekomme ich negative Werte. Vermutlich weil in der Qxx in den Nebendiagonalen (Kovarianzen) naturgemäß schon negative Werte eingtragen sind.

1) Was fasse ich warum falsch auf? Denn ich denke, dass es keine negativen Varianzen geben kann.
2) Soll ich aus den vorhergehenden Ausgleichungen die Kovarianzen unter den Tisch fallen lassen? (wäre sicher nicht richtig)
3) Oder sollte es eben nur positive Gewichte geben? (wäre eine plausible Lösung)

Ich hoffe diese Frage ist wirklich leicht zu klären - ich fisch gerade ein bisschen im Trüben. Beim Niemeier habe ich dazu auch nichts rechtes finden können, da er die Kovarianzen bei der Gewichtsbestimmung nicht näher bespricht.

Viele Grüße

Thomas

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Hallo Thomas,

es gibt keine negativen Varianzen. Folglich sind negative Varianzen Anzeichen für Probleme in Deiner Modellbildung oder im Ausgleichungsalgorithmus.

Wenn ich Deine Aufgabe korrekt verstanden habe, willst Du lediglich für einen Punkt den Mittelwert (Komponentenweise) ausrechnen. Hierzu hast Du aus n Einzelauswertungen den Punkt selbst und dessen 3x3 Kovarianzmatrix.

Deine Designmatrix A sieht demnach (für die ersten zwei Einzelwerte) wie folgt aus:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Deine Kovarianzmatrix der Beobachtungen Qll ergibt sich aus den 3x3 Matrizen der n Einzelauswertungen zu einer Block-Diagonal-Matrix (hier wieder nur für die ersten beiden Punkte dargestellt).

$Qll = \begin{pmatrix} Q_{11} & 0 \\ 0 & Q_{22} \\ \end{pmatrix}$

Deine Gewichtsmatrix ergibt sich nicht aus den Kehrwerten von Qll, sondern ist dessen inverse:

$P^{-1}=Qll$

Da Qll auch Elemente auf den Nebendiagonalen besitzt, kannst Du nicht einfach die reziproken Varianzen verwenden. Du kannst aber die Struktur der Qll-Matrix ausnutzen. Wenn Du also 3x3 Blöcke auf der Hauptdiagonalen hast, dann reicht es, wenn Du die einzelnen Submatrizen invertierst. In Deinem speziellen Fall gilt also:

$P = \begin{pmatrix} Q_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & Q_{22}^{-1} \\ \end{pmatrix}$

Der Vektor der Verbesserungen ist im übrigen
$v = A \cdot m - l$

Hier kommt keine Gewichtung vor.

Schöne Grüße
Micha

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applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

Tags:
Ausgleichung, Kovarianz, Matrix, Gauß-Markov, Gewichtete Mittelwertbildung

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Hallo Micha,

oh Mann bin ich blöd! Natürlich ist

$P = Q_{ll}^{-1}$

mein Fehler war immer noch ausschließlich in der Hauptdiagonale zu denken. *omg*

Und der Hinweis mit der (nicht)Gewichtung der Verbesserungsgleichung war auch sehr hilfreich. Nun kommen die Varianzen für das Endergebnis auch in die richtige Größenordnung.

Vielen Dank!!

Thomas

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Ich bin mir bei dieser Fehlerellipse ein wenig unsicher:

Sollte die Verdrehung nicht in Richtung der Punkte zeigen? Oder genau eben nicht? Das ist mir noch unklar. Kannst Du mir da beim Verstehen helfen?

Viele Grüße

Thomas

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Um die Vollständigkeit zu wahren:

Die Ellipse ist tatsächlich falsch gedreht. Grund war eine Verwchslung der Drehrichtung (im Plot). Die Mathematik stimmt.

Viele Grüße

Thomas!

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Hi,

schön, dass Du es allein hinbekommen hast.

Viele Grüße
Micha

--
applied-geodesy.org - OpenSource Least-Squares Adjustment Software for Geodetic Sciences

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