Hallo Zusammen, Hallo MichaeL,

ich habe wieder ein ausgleichungstechnisches Problem aus dem Bereich Photogrammetrie. Ziel ist die Bestimmung der 3D-Koordinaten von einer Vielzahl von optischen Messmarken (typischerweise Kreismarken) auf einem Objekt und die zugehörige Kovarianzmatrix. Die Berechnung erfolgt durch eine Bündelblockausgleichung (BBA) in Form einer vermittelnden Ausgleichung.

Zuerst werden um das Objekt mehrere Längenmaßstäbe verteilt, die ebenfalls optische Messmarken besitzen. Die Länge zwischen jeweils zwei optischen Messmarken auf jedem Längenmaßstab sind extern hochgenau bestimmt worden. Die jeweils zugehörige Messunsicherheit ist auf dem Kalibrierschein angegeben. Auf dem Objekt werden diverse optische Messmarken angebracht.

Mit einer Messkamera werden diverse Bilder aufgenommen, welche die optischen Messmarken des Objektes und der Längenmaßstäbe beinhalten. In jedem Messbild werden durch einen Ellipsenfit der jeweilige Mittelpunkt der abgebildeten Kreismarken bestimmt. Aus der Ausgleich erhält man ebenfalls die Kovarianzmatrix für den Ellipsenfit (Submatrix für Ellipsenmittelpunkt).
Aus den Messunsicherheiten der kalibrierten Längen und der Kovarianzmatrix jedes Ellipsenfits kann nun die Kovarianzmatrix der Eingangsbeobachtungen der BBA abgeleitet werden. Führt man nun die Ausgleichung durch, so fällt auf, dass die a priori angenommene Kovarianzmatrix deutlich kleinere Werte enthält als die Kovarianzmatrix der Eingangsbeobachtungen a poste riori.
Aufgrund unserer Erfahrung glauben wir, dass die Ursache in einem Modellfehler des funktionalen Modells zu verorten ist. Das funktionale Modell (in dem Fall die Abbildung eines Objektpunktes in den Bildraum) ist in der Realität komplexer als das Modell abbilden kann. Dies wird zum Beispiel offensichtlich durch systematische Residuen benachbarten Bildpunkte.

Im Ergebnis werden nicht nur die Varianzen der Bildkoordinaten sondern auch die Varianzen der Maßstabslängen a poste riori deutlich größer. Berechnet man nun die Konfidenzellipsoide der 3D-Puntke, so sind sie gemäß Rechnung deutlich unsicherer als sie in Wirklichkeit sind. Die Residuen der Maßstabsbeobachtungen sind nämlich sehr klein (bei großer Überbestimmung). Die Skalierung der Gesamtpunktwolke sollte somit hochgenau bestimmt worden sein. Das deutliche größere Sigma a poster riori im Vergleich zu Sigma a priori ergibt sich durch die deutlich größeren Bildpunktabweichungen als angenommen (a priori).

Ziel ist aber eine möglichst realistische Abschätzung der Konfidenzellipsoide. Was könnte man tun? Wahrscheinlich kommt eine Varianzkomponentenanalyse in Frage. Allerdings habe ich hier keine praktischen Erfahrungen. Nach Studium des Niemeier gehe ich von reihenden Varianzkomponenten aus (ein Block Bildkoordinatenmessungen, ein Block Längen). Anhand des Lehrbuchs kriege ich es aber nicht hin (Leider kein praktisches Rechenbeispiel). Die Idee dahinter (also nicht nur eine Varianz zur Skalierung der Qll-Matrix sondern jeweils eine Varianz pro Messgruppe) verstehe ich soweit. Aber schon bei Formel 9.3.4 im Vergleich zu Formel 9.3.3, wo die Alpha-Werte eingeführt werden, habe ich meine Verständnisprobleme.

Frage 1: Gibt es irgendwo ein einfaches Rechenbeispiel zum Nachvollziehen der notwendigen Schritte? Ich habe es zum Beispiel mit wiederholenden Einzelmessungen (z.B. eine fiktive Temperaturmessung eines ersten Objektes mit einem analogen Thermometer mit 5 Messungen und eine davon unabhängige Temperaturmessung eines zweiten Objektes mit einem hochgenauen digitalen Thermometer ebenfalls mit 5 Messungen)

Meines Erachtens hilft mir eine Varianzkomponentenschätzung aber auch nicht vollständig. Eigentlich sollen die Messunsicherheiten der Maßstäbe beibehalten und entsprechend fortgepflanzt werden. Aus der jeweiligen BBA mit Varianzkomponentenschätzung könnten sich ja auch deutliche kleinere Varianzen ergeben, wenn die Maßstäbe gut zueinander passen. Die Genauigkeitsabschätzung soll aber von den extern ermittelten Messunsicherheiten ausgehen. Deshalb die Frage, ob folgendes Vorgehen legitim ist.

Die BBA wird ohne Varianzkomponentenschätzung wie oben angegeben berechnet. Anhand der Gewichtungsmatrix und dem mittleren Gewichtseinheitsfaktors berechnet man die Kovarianzmatrix der Eingangsbeobachtungen. Die Sub-Kovarianzmatrix der Bildbeobachtungen lässt man unverändert , während man die Sub-Kovarianzmatrix der Maßstäbe entsprechend der externen Kalibrierung „korrigiert“. Das heißt man gewichtet eigentlich die Bildbeobachtungsgruppe zu den Maßstabsbeobachtungen ab. Nun wird die Ausgleichung erneut durchgeführt. Anschließend vergleicht man die Varianzen der Maßstabsbeobachtungen a priori und a poste riori. Wenn diese hinreichend gut übereinstimmen ist die Berechnung zu Ende. Andernfalls werden wieder eine neue a priori Kovarianzmatrix aus der Sub-Kovarianzmatrix der Bildbeobachtungen a poste riori und den externen Messunsicherheiten der Maßstabsbeobachtungen gebildet.