Hallo Julian,

ich würde die Unsicherheit anders bestimmen. Ich würde zunächst den funktionalen Zusammenhang zwischen den polaren Beobachtungen und den kartesischen Koordinaten heranziehen, um die 3x3 Kovarianzmatrix eines Punktes zu bestimmen. Für den X-Wert wäre dies

$x_i = X_0 + s_i \cdot \cos{\alpha_i} \cdot \sin{\beta_i}$

Nun würde ich mir überlegen, wie die einzelnen Messelemente durch unvermeidbare zufällige Abweichungen beeinflusst werden können. Die Strecke könnte sich aus einem additiv und einen streckenabhängigen Anteil zusammensetzen, etwa

$s_i = m \cdot s_0 + c$

Wenn Du dies für alle Messelemente gemacht hast, substituierst Du dies in die Gleichungen zum Ableiten der kartesischen Koordinaten.

Nun hast Du die Unsicherheiten der reinen polaren Messelemente charakterisiert. Jetzt könntest Du Dir überlegen, welche Abweichungen generell noch im Messprozess wirken. Dies könnten einerseits Abweichungen im Instrument sein (z.B. Nicht-Rechtwinkligkeit der Achsen) aber auch Unsicherheiten, die durch die Konfiguration (bspw. Auftrittswinkel des Lasers) entstehen oder durch die Oberflächeneigenschaften des Objektes (bspw. Farbe, Material). Diese müsstest Du noch in geeigneter Weise modellieren. Die Arbeiten von Daniel Wujanz bieten Dir sicher einen guten Einstieg in dieses Themenfeld.

Wenn Du dies alles hast, dann wendest Du auf diesen funktionalen Zusammenhang bspw. das Varianz-Kovarianz-Fortpflanzungsgesetz an. Wenn Du so vorgehst, dann stellt sich die Frage nicht, wie man die Streckenunsicherheit (oder eine andere) modellieren muss, da Du die Modellierung durch Dein Modell vorgegeben hast.

Viele Grüße
Micha

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