ausgleichung dreieck

hallo zusammen,

habe hier folgendes problem. würde gerne die allgemeine winkelmessgenauigkeit eines theodoliten absolut bestimmen.

dazu habe ich 3 pfieler, welche die eckpunkte eines dreiecks darstellen. habe nun auf jedem pfeiler je 7 richtungen zu jedem weiteren pfeiler gemessen.

die idee ist, dass ich mir aus diesen beobachtungen winkel berechne (Anzahl: 21) die summen der winkel sollen 200 gon ergeben.

gibt es eine möglichkeit mittels ausgleichung ein genauigkeitsmass für die gemessenen richtungen bzw für die winkel zu berechnen?

ich dachte zuerst an bedingte ausgleichung?!

hat hier vielleicht jemand einen lösungsansatz?

gruss

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Hallo ausgleicher,

ich dachte zuerst an bedingte ausgleichung?!

Aber? Warum meinst Du das nicht nehmen zu wollen/können?

Die Bedingungsgleichung lautet:

$w = \left(r_2 - r_1 \right) + \left(r_4 - r_3 \right) + \left(r_6 - r_5 \right) = 200$

wobei $\left(r_j - r_i \right)$ der jeweilige Innenwinkel im Dreieck ist.

Schöne Grüße
Micha

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hallo michael,

vielen dank für deine antwort. könntest du mir helfen das etwas weiterzustricken?
wie viele bedingungsgleichungen habe ich dann? ich habe ja je 7 richtungen in lage1 und lage2.

und wie komme ich dann von den bedingungsgleichungen zu einem mass für die genauigkeit meiner HZ-winkelmessung?

gruss und danke im voraus

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Hi,

die Frage, die ich mir stelle ist, wie streng Du das überhaupt benötigst. Im einfachsten Fall bestimmst Du mit den Bedingungsgleichungen die Abweichungen. Diese kannst Du als Verbesserungen auffassen. Quadriert und aufsummiert und durch den Freiheitsgrad dividiert liefert Dir die Standardabweichung für den Widerspruch im Dreieck.

Gruß Micha

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hallo michael,

ich bekomme am ende 7 mal 3 winkel. woher weiss ich jetzt wie ich die 21 winkel summiere? denn je nachdem wie ich die innenwinkel kombiniere bekomme ich am ende für die standardabweichung völlig unterschiedliche werte heraus.
gruss

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Hi,

ich bekomme am ende 7 mal 3 winkel.

Unter Umständen, ja, aber nur wenn diese unabhängig gemessen wurden ansonsten bekommst Du lediglich 3 mal 1 Winkel.

woher weiss ich jetzt wie ich die 21 winkel summiere?

Wenn Du die Richtungen mehrfach kombinierst, dann geht es nicht mehr so einfach. In dem Fall wirst Du wirklich Ausgleichen und diesen Umstand berücksichtigen müssen.

Nehmen wir aber mal an, Du hast Auf dem Standpunkt A die Richtungen zu B und C gemessen, dann hast Du auf B zu A und C gemessen und abschließend von C zu A und B. Das hast Du nun x-mal wiederholt. Dann würde ich jede "Runde" als eine Realisierung betrachten, sodass Du x-Gleichungen hast.

Was mir gerade noch einfällt: Alternativ könntest Du übrigens auch eine Netzausgleichung rechnen, wenn Dir das lieber ist. Du bestimmst die Koordinaten von Deinen 3 Punkten A, B, C und als "Nebenprodukt" fällen auch die Genauigkeiten der einzelnen Richtungen ab. Mit der Genauigkeit der Richtungsmessung kannst Du wiederum auf die Winkelgenauigkeit schließen. Ich denke, ich würde diesen Weg gehen.

Gruß Micha

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Ausgleichung, Netzausgleichung, Bedingte Ausgleichung

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hallo michael,

vielen dank für die vielen ansätze.

meine daten habe ich schon gesammelt und leider keine strecken gemessen. drum wirds auch schwer mit den koordinaten.

tatsächlich habe ich von jedem eckpunkt aus je 7 richtungen in lage 1 und lage 2 zu den beiden anderen dreieckspunkten gemessen. erst 7 zu ziel1 in lage1, dann 7 zu ziel2 in lage1 dann 7 zu ziel1 in lage2 und 7 zu ziel2 in lage2. nun habe ich lage1 und lage2 gemittelt und je der rheinfolge nach die richtungen subtrahiert. d.h. richtung1 (ziel2) - richtung 1 (ziel1) usw.

daraus bekomme ich jetzt 7 winkel pro standpunkt. auf dieser datengrundlage würde ich gerne aufbauen.

ich habe schon überlegt, die 7 winkel pro standpunkt zu mitteln und dann die jeweiligen mittel zu addieren und von 200 abzuziehen. daraus bekomme ich ja "v". wenn ich nun sqrt(v^2/3) mache, habe ich dann eine standardabweichung für meine dreieckswinkel? und wie würde ich das runterrechnen auf die genauigkeiten meiner einzelnen richtungen?

gruss

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Hi,

meine daten habe ich schon gesammelt und leider keine strecken gemessen. drum wirds auch schwer mit den koordinaten.

Ein Dreieck ohne Strecken ist mehrdeutig, da man es beliebig skalieren kann, ohne das sich die Winkel ändern. Soweit sind wir uns einig? Folglich kannst Du eine beliebige Strecke zwischen zwei Punkten annehmen bspw. AB = 50m. Die Strecke selbst wird für die Netzausgleichung nicht benötigt, Du brauchst sie um Näherungskoordinaten zu bestimmen!

Ein Zahlenbeispiel:

A  100  200
B  150  200
C  275  110

Richtungen auf A

A  B   100.00
A  C   130.24

Richtungen auf B

B  A   300.00
B  C   139.73

Richtungen auf C

B  A   330.24
B  C   339.72

Diese Werte in ein Ausgleichungprogramm eingegeben, wobei die Punkte als Datumspunkte betrachtet werden, und los gehts. Wenn Du mehrere Sätze gemessen hast oder mehrere Richtungen (auch Doppelmessungen) in einem Satz hast, kannst Du die entsprechend hinzufügen. Findest Du das wirklich impraktikabel?

[image]

daraus bekomme ich ja "v"

Aber nur ein einziges. Findest Du das nicht ein wenig mager, um daraus eine Streuung zu bestimmen?

Schöne Grüße
Micha

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Netzausgleichung, JAG3D

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Hallo Michael,

entschuldige die späte Antwort, aber ich war im Urlaub und das Problem besteht immernoch :/ Wie finde ich ein Fehlermass und wie berechne ich den Fehler.

Zur Sache: Bin von der Idee abgekommen das ganze Problem mit Ausgleichung lösen zu wollen. Würde hier lieber Fehlerfortpflanzung anwenden.

Was ich tue ist ja Winkel aus den 7 Beobachtungen für jeden der drei Standpunkte zu bestimmen. diese je drei Winkel summiere ich und bekomme am Ende 7 aufsummierte Dreickesinnensummenwinkel.

Wäre es nicht viel sinnvoller draus etwas abzuleiten. Kann ich nicht das Mittel der Dreiecksinnensummenwinkel bilden, dies mit dem absoluten Wert (200 gon) vergleichen und daraus meine Grössen ableiten?

Bin um jede Hilfe froh
viele Grüsse

der ausgleicher

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Hallo,

eine Ausgleichung kannst Du ruhig machen. So schwer ist es ja nicht. Wenn Du unabhängige Beobachtungen hättest, wäre der Ansatz für eine Bedingte Ausgleichung folgender (Octave-Notation):

l0 = [
130.24
100.00
 
339.72
330.24
 
300.00
139.73
 
 
130.25
100.01
 
339.71
330.22
 
300.01
139.70
 
 
130.20
 99.95
 
339.68
330.20
 
299.97
139.71
];
 
 
w = [
( l0(1)- l0(2))+( l0(3)- l0(4))+( l0(5)- l0(6)) - 200
( l0(7)- l0(8))+( l0(9)-l0(10))+(l0(11)-l0(12)) - 200
(l0(13)-l0(14))+(l0(15)-l0(16))+(l0(17)-l0(18)) - 200
];
 
B = [
 1 -1   1 -1   1 -1   0  0   0  0   0  0   0  0   0  0   0  0
 0  0   0  0   0  0   1 -1   1 -1   1 -1   0  0   0  0   0  0
 0  0   0  0   0  0   0  0   0  0   0  0   1 -1   1 -1   1 -1
];
 
Qll = 0.01^2.*eye(18,18);
Q_kk = inv(B*Qll*B');
k = Q_kk*w;
v = Qll*B'*k;
l = l0 + v;
Q_vv = Qll*B'*Q_kk*B*Qll;
Q_ll = Qll - Q_vv;
sigma2apost = v'*inv(Qll)*v/trace(Q_vv*inv(Qll))
[l0 l sqrt(sigma2apost.*diag(Q_ll))]

(Notation: l0 = Beobachtungen, Qll = Kovarianzmatrix von l0, w = Widerspruchsvektor, B = Bedingungsmatrix, v = Verbesserungen, Q_vv = Kofaktormatrix von v, k = Korrelaten, Q_kk = Kofaktormatrix von k, l = Beobachtungen nach der Ausgleichung, Kofaktormatrix von l)

In diesem Beispiel habe ich 3 Bedingungsleichungen in w aufgestellt. Die Innenwinkel wurden also jeweils 3mal bestimmt. Jeder Widerspruch ist unabhängig vom anderen, sodass auch keine Kombinationen existieren. Um zu Kombinieren, müsstest Du in B einfach entsprechende Zeilen anfügen...

Einfacher sollte es sein, nur einen Widerspruch zu nutzen. Am einfachsten ist hier wohl w = w(1) + w(2) + w(3) == 0. Du mittelst somit Richtungen, die identische Stand- und Zielpunkte haben.

Im Quellcode oben ändern sich nur der Widerspruchsvektor und die Bedingungsmatrix:

w = [
((l0(1)+l0(7)+l0(13)) - (l0(2)+l0(8)+l0(14)))/3 + ((l0(3)+l0(9)+l0(15)) - (l0(4)+l0(10)+l0(16)))/3 + ((l0(5)+l0(11)+l0(17)) - (l0(6)+l0(12)+l0(18)))/3 - 200
];
 
B = 1/3.*[
 1 -1   1 -1   1 -1   1 -1   1 -1   1 -1   1 -1   1 -1   1 -1
];

Wäre es nicht viel sinnvoller draus etwas abzuleiten. Kann ich nicht das Mittel der Dreiecksinnensummenwinkel bilden, dies mit dem absoluten Wert (200 gon) vergleichen und daraus meine Grössen ableiten?

Das sollte dem letztgenannten Vorschlag entsprechen.

Gruß Micha

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hallo michael,

vielen dank erstmal für die sehr ausführliche antwort, das hilft mir sehr weiter.
ein paar kleine fragen hätte ich noch.

bei der kovarianzmatrix hast du als varinzfaktor 0.01 angegeben. entspricht das dann im endeffect den genauigkeitsangaben des herstellers für die winkelmessung?

später bekommen wir dann ein sigma2apost. kannst du mir erklären wie du auf diese formel kommst?
wenn ich dann sigma2apost mit Q_ll multipliziere, was bekome ich dann raus? ist das ergebnis dann ein mass für die genauigkeit aus meinen messungen. und kann ich dieses mass dann direkt mit dem varianzfaktor vergleichen um zu sagen, das instrument hält die genauigkeit ein oder auch nicht?

grüsse und dank im voraus!

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Hallo,

bei der kovarianzmatrix hast du als varinzfaktor 0.01 angegeben. entspricht das dann im endeffect den genauigkeitsangaben des herstellers für die winkelmessung?

Wenn bei Dir alle Messungen die selbe Genauigkeit haben, kannst Du Dir diesen Faktor sparen. Wenn Du also statt mit

Qll = 0.01^2.*eye(18,18);

zu rechnen, nur

Qll = eye(18,18);

nimmst, wirst Du exakt das selbe Ergebnis erhalten. Das passiert also auch, wenn Du bspw.

Qll = 4711.*eye(18,18);

nimmst.

Enthält Qll auf der Hauptdiagonalen immer den selben Wert, kann ein x-beliebiger Vorfaktor genommen werden. Um kleine Zahlen zu erhalten (nummerisch stabile Gleichungssysteme), wird häufig ein Wert von 0.01 oder 0.001 genommen.

Wenn Qll == E (E=Einheitsmatrix) gilt, kannst Du diese direkt weglassen. Eine Multiplikation mit 1 ist schließlich unnötig. Ich habe Qll nur der Vollständigkeit halber im Code eingeführt, da Du ggf. Deine Richtungen a-priori unterschiedlich gewichten willst - wenn nicht, gilt oben genanntes und Du kannst auf Qll verzichten.

später bekommen wir dann ein sigma2apost. kannst du mir erklären wie du auf diese formel kommst?

$s^2 = {v^TPv \over n-u} = {v^TQll^{-1}v \over n-u} = {v^TQll^{-1}v \over Spur(R)} = {v^TQll^{-1}v \over Spur(Qvv P)}$

R = Qvv P ist die Redundanzmatrix. Der Freiheitsgrad ist die Summe aller Redundanzanteile, die sich auf der Diagonalen von R befinden. Somit ist die Spur von R identisch mit n-u, vgl. bspw. Jäger et al (2005) Seite 194.

wenn ich dann sigma2apost mit Q_ll multipliziere, was bekome ich dann raus?

Die Kovarianzmatrix der ausgeglichenen Beobachtungen. Beachte bitte, das Qll und Q_ll unterschiedliche Inhalte haben und nicht die selben Matrizen sind!

ist das ergebnis dann ein mass für die genauigkeit aus meinen messungen.

Ja, das ist ein gutes Maß dafür.

und kann ich dieses mass dann direkt mit dem varianzfaktor vergleichen um zu sagen, das instrument hält die genauigkeit ein oder auch nicht?

Wenn Du den Varianzfaktor a-priori änderst, wird sich gleichermaßen der Varianzfaktor a-posteriori ändern - probiere es aus. Setze statt 0.01 mal 0.0001 für den a-priori Varianzfaktor und vergleiche jeweils den a-posteriori Faktor anschließend. Fällt Dir was auf?

Ein Maß für die Genauigkeit ist die Kovarianzmatrix. In dieser findest Du auf der Hauptdiagonalen die quadrierten Standardunsicherheit Deiner Beobachtungen nach der Ausgleichung. Die Standardunsicherheit ist ein anerkanntes Maß zur Quantifizierung der erreichten Genauigkeit (z.B. DIN1319-1 oder DIN V ENV 13005).

Schöne Grüße
Micha

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