Wie Verbundkurve ohne Klothoidenparameter berechnen?

Hallo Leute,

ich möchte gerne eine Verbundkurve zwischen zwei Punkten berechnen. Ich komme der Lösung jedoch nicht auf die Schliche. Was mir fehlt sind die Klothoidenparameter A, mit deren Hilfe die Berechnung dieser Verbundkurve wesentlich einfacher wäre.

Das einzige was ich zur Verfügung habe sind der Startpunkt P1 und der Endpunkt P2 und die beiden Tangenten, die durch je einem der Punkte verlaufen und sich in einem weiteren Punkt V schneiden.

Somit kann ich noch den Winkel zwischen den Tangenten und die jeweilige Tangentenlänge berechnen.

P1 (2156.767, 5275.607) = Startpunkt
V (2400, 5100) = Schnittpunkt der Tangenten
P2 (2638.125, 5282.474) = Endpunkt

Tangentenlänge (P1 V) = 300,00018
Tangentenlänge (v P2) = 300,00046
Schnittwinkel beträgt = 36,48°

Als zusätzliche Information steht mir die Krümmung in den Punkten P1 und P2 zur Verfügung.

Weiß zufällig jemand weiter und kann mir erklären wie ich die Klothoidenparameter berechnen kann?

Mit freundlichem Gruß,
Peter

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Hi Peter,

gleich vorweg. Mein Wissen in diesem Bereich ist schon stark verblasst. Wenn ich bedenke, wie lange Andy und ich für die Prüfung gebüffelt haben, ist es echt schade...

Der Klothoidenparameter ist ja nur ein Skalierungsparameter. Die eigentliche Berechnung erfolgt idR. auf der Einheitsklothoide. Die Winkel sind jedoch invariant gegenüber dieser Skalierung. Insofern könnte man hierüber zumindest eine Bestimmung der Parameter versuchen. Im Downloadbereich gibt es eine digitale Klothidentafel, die die Parameter auf der Einheitsklothoide bestimmt. Die Notation der Parameter ist an Grubers Formelsammlung für das Vermessungswesen angelehnt. Aus dem Schnittwinkel der Tangenten kann man auf den Tangentenwinkel τ (tau) zurückschließen, den das Programm als Eingabe akzeptiert. Mit den so bestimmten Parameter lässt sich ggf. auf den Skalierungsparameter schließen.

Schöne Grüße
Micha

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Tags:
Klothoide, Klothoidenparameter

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Hallo im neuen Jahr.

Mein Abstand zur Klothoide beträgt auch schon mehrere Jahre, so kann ich nur einen Link posten
Skript Bäumker Bochum
Dort lese ich auf S.30, dass A vrmtl. iterativ bestimmt werden muss.
Naja, dann viel Spaß :-D

P.S.
Die sonst hier anwesenden Herren Studenten sind wohl noch auf der Schipiste ?

Alles Gute
Roland

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Hallo Leute,

ich bedanke mich für eure Hinweise!

Laut dem von Wallraff gepostetem Material gibt es zwei Möglichkeiten eine Klothoide zu berechnen, wenn der Klothoidenparameter A und die Klothoidenlänge L nicht bekannt sind.

1. Durch die Verwendung einer Klothoidentafel (siehe Ansatz von MichaeL)

2. Iterative Berechnung mittels einer Näherungslösung

Da ich aus einem anderen Arbeitsumfeld komme, habe ich noch nie zuvor mit Klothoiden Kontakt gehabt. Somit kann ich leider nicht nachvollziehen wie man mit einer Klothoidentafel arbeitet :pc: Habt ihr möglichweise irgendwelche Tutorials griffbereit?

Bei der zweiten Variante sehe ich ein Problem. Wenn ich es richtig verstanden habe, benötige ich laut Skript den Radius um L und A näherungsweise zu bestimmen. Jedoch habe ich den Radius ebenfalls nicht zur Verfügung :-(

Fürs WE reichts mir ersteinmal mit den Klothoiden ...
Ich wünsche euch noch einen schönen Abend

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Hallo,

Jedoch habe ich den Radius ebenfalls nicht zur Verfügung

Du hast aber geschrieben, Du hättest an den Punkten P1 und P2 die Krümmungen.
Krümmung ist 1/R.
Da von zwei Krümmungen die Rede war, ging ich auch von der Eikurve aus (Klothoide zwischen zwei Kreisen).

Wie dringend ist das Anliegen und wozu dient die Lösung ?
Jenachdem würde ich Schnurri vom Schoß schubsen und mich nochmal reinhängen.
Schneller ging das sicher bei Studierenden, die das gerade gehört und geübt haben.

Grüße Roland

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Hi Roland,

kleines Missverständnis meinerseits. Du hast recht, den Radius kenne ich dank der vorhandenen Krümmung. Was ich aber eigentlich meinte ist das DeltaR. Also die Tangentenabrückung (Abrückung der Kreisbogentangente), welches ich laut dem von dir verlinktem Skript für die Näherung benötige:

L0 = wurzelAus( (26*R + 6*DeltaR) * DeltaR )

Also was ich eigentlich vorhabe ist die Berechnung einer Verbundkurve (Klothoide1 - Kreisbogen - Klothoide2) anstatt einer Eikurve. Das heißt ich beginne bei P1 mit der Klothoide1 (mit einer bestimmten Krümmung K1 ungleich 0). Dann verläuft die Klothoide1 mit zunehmender Krümmung bzw. abnehmendem Radius bis zu dem Punkt, an dem der Kreisbogen mit einer konstanten Krümmung bzw. einem konstanten Radius beginnen soll. An diesen Kreis unbekannter Länge schließt die Klothoide2 an. Sie verläuft mit abnehmender Krümmung und zunehmendem Radius in Richtung P2, bis sie die festgelegte Krümmung K2 (ungleich 0) an dem Punkt P2 erreicht.

D.h. der minimale Radius von Klothoide1 = Radius des Kreises = minimale Radius der Klothoide2
Die beiden Krümmungen K1 und K2 die ich meine sind die Krümmungen der Klothoiden in den Punkten P1 und P2.
Und das ist vom Prinzp alles was ich an Informationen zur Verfügung habe. Das einzige was ich noch bestimmen kann, sind wie schon im ersten Beitrag beschrieben: die Tangenten in den Punkten P1 und P2 und ihren Schnittwinkel.

Wie läuft eigentlich die Trassierung in der Praxis ab? Vom Prinzip müssen im ersten Schritt doch irgendwelche Koordinaten festgelegt werden, durch die eine neue Straße führen soll?
Natürlich müssen die Koordinaten so gewählt werden, das eine möglichst günstige Anpassung an die Umwelt bzw. ökonomische Planung zustande kommt. Aber grundsätzlich steht einem doch dann auch nur eine bestimmte Anzahl festgelegter Punkte zur Verfügung. Was ist dann der nächste Schritt um auf die benötigten Parameter zu kommen?
Möglicherweise irre ich mich auch und es wir ein ganz anderes Verfahren genutzt.

Viele Grüße
Peter

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Hallo Peter,

ich wollte warten, bis sich andere (die mehr Ahnung haben) vordrängen ... sind doch noch im Schiurlaub ... Vielleicht warten die auch, bis die Aufgabe komplett beschrieben ist ?

So fehlt z.B. die Angabe, was für eine Trasse: Schiene/Straße, gibt es eine Entwurfsgeschwindigkeit etc. Und ist die Aufgabe real oder Übung.

Nach dem wie sie sich jetzt darstellt, scheint sie mir nicht eindeutig lösbar.

Für reale Trassierungen gibt es Softwarepakete, mal googeln, ich will und kann keines rausposaunen. Die können mit Vorgaben zur Trasse unter Beachtung von Fixpunkten mehrere Varianten durchrechnen bzw. optimieren. Heißt Simplex-Verfahren. Damit enden meine Ahnungen ...

Grüße Roland

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Hallo Leute,

ich bin es mal wieder. Ich habe mich jetzt ausgiebig mit der Thematik der Klothoiden beschäftigt und komme der Lösung meines Problems immer näher.

Ein kleines Problemchen stellt sich mir aber noch in den Weg. Wenn ich die Parameter der Einheitsklothoide mithilfe des Winkels Tau bestimmt habe und eine weitere Größe meiner zu berechnenden Klothoide kenne, kann ich ein Verhältnis zwischen Einheitsklothoide und der zu berechnenden Klothoide herstellen.

z.B. $\frac{A}{Radius} = \frac{1}{EinheitsRadius}$ (A der EinheitsKlothoide = 1)

Folglich könnte ich jetzt die Krümmung am Ende der Klothoide bestimmen
$K = \frac{\sqrt[2]{2*Tau}}{A}$

Komischerweise stimmt die Krümmung aber nicht. Wenn ich beispielsweise folgendes rechne, bin ich wesentlich genauer:
$K = \frac{\sqrt[2]{2*Tau*\sqrt[2]{2*PI}}}{A}$

Weiß zufällig jemand womit das zusammenhängen könnte?
Würde mich über eine Antwort freuen.

Liebe Grüße,
Peter

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Achso, ganz vergessen.
Die Werte der Einheitsklothoide sollten stimmen!
Hab sie soweit mit der Klothoidentafel verglichen ...

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Hallo,

Weiß zufällig jemand womit das zusammenhängen könnte?

Vielleicht reichst Du noch nach, was (und wie) Du (etwas) berechnet hast. Ich habe schon, um den Zusammenhang zum alten Posting herzustellen, die Beiträge aneinander gefügt.

Wie groß ist Dein Winkel τ? Mit τ bekommst Du tl und tk (die lange und kurze Tangente). Deine Tangen haben beide eine Länge von ca. 300m, somit müssten tl und tk annähernd gleich sein.

Gruß Micha

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Hi Michael,

also meine Berechnungen beziehen sich gerade auf ein anderes Beispiel.
Hier betrachte ich auch keine Verbundkurve, sonder ersteinmal nur zwei Klothoiden ohne Kreis (gleichschenkliges Dreieck -> tau1 = tau2)

--------------------------------------------------------

P1(50, 450)
P2(400, 450)
Schnittpunkt (225, 257.5)

Tangente1 = 14905.852450522
Tangente2 = 14905.852450522

alpha(an P1) = beta (an P2) = 47.7263109939063°
gamma = 84.5473780121874°
Schnittwinkel der Tangenten = 95.4526219878125°
gamma + Schnittwinkel = 180°

tau1 = tau2 = 47.7263109939063° (tau = Schnittwinkel/2)

--------------------------------------------------------

Jetzt berechne ich aus tau die Länge der Einheitsklothoide
$L = \sqrt[2]{2*tau1} = 1.29072171026479$

Endpunkt der Klothoide
$x = L1 - \frac{L1^{5}}{40} + \frac{L1^{9}}{3456} - \frac{L1^{13}}{599040} + \frac{L1^{17}}{175472640} = 1.20399521772669$
$y = \frac{L1^{3}}{6} - \frac{L1^{7}}{336} + \frac{L1^{11}}{42240} - \frac{L1^{15}}{9676800} = 0.341007834727867$

Einheitstangente
$Tangente = x + y*tan(Schnittwinkel/2) = 1.57910383592734$

Jetzt setze ich die Tangente der Einheitsklothoide mit der oben bekannten ins Verhältnis um A zu bestimmen
$A = \frac{Tangente1}{Tengente} = 164.749269274807;$

und zum schluss bestimme ich die Krümmung
$K = \frac{\sqrt[2]{2*tau1}}{A} = 0.0124037808677117$

Wenn ich die Klothoiden jetzt zeichnen lasse, gibt es keinen glatten Übergang

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Hallo,

und zum schluss bestimme ich die Krümmung
$K = \frac{\sqrt[2]{2*tau1}}{A} = 0.0124037808677117$

Die Krümmung k = 1/R. Somit ist R bei Dir R=80.6205793754. Der Radius auf der Einheitsklothoiden ist r=0.774760346905075. Bestimmt man A aus den Radien zurück, müsste sich Dein Wert ergeben, was jedoch nicht der Fall ist.

Gruß Micha

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Ach man,
jetzt komm ich schon selbst durcheinander. Tut mir leid.
Das ist die Krümmung mit $\sqrt(2*PI)$
In diesem Bereich sollte die Krümmung ungefähr liegen, damit es einen glatten Übergang gibt.

Die eigentlich Krümmung nach der von mir genannten Formel bzw. nach 1/R ergibt K = 0.0078344609110941. Diese Krümmung ergibt keinen glatten Übergang.

Mein Radius beträgt somit r = 127.641201015367
Der Einheitsradius beträgt r = 0.774760346903014

Gruß,
Peter

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Hi,

wir sollten uns mal über die Notation ggf. Gedanken machen; ggf. sind meine Anmerkungen hinfällig, weil ich unter bestimmten Werten etwas anderes verstehe.

Du hast einen Verbund aus zwei Klothoiden ohne Kreissegment dazwischen. Damit gilt laut Gruber

$\gamma = 2\tau$

und somit

$\tau [RAD] = 0.73781506012$

Damit lassen sich nun alle anderen Parameter bestimmen mit der Klothoidentafel:

l =  1.21475516885
r  = 0.82321115040
dr = 0.07325328519
k  = 1.21475516885
xm = 0.59652146246
ym = 0.89646443559

Der Tangentenlänge ergibt sich zu

$t = (r+dr)\tan(0.5\gamma) + xm = 1.41148913117818$

und damit

A = 14905.852450522/t = 10560.37

Ich hoffe, ich habe mich nicht vertan. ;-) Hilft Dir das weiter?!?

Gruß Micha

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Hi,

also bei mir ist der Schnittwinkel der Tangenten mit deinem gamma gleichzusetzen gamma = 2*tau = 95.4526219878125.

l = 1.29072171026479
r = 0.774760346903014
dr = 0.0874076950536561

xm = 0.630718989775004
ym = 0.86216804195667

t = (r+dr)*tan(gamma/2) = 0.948384846152337
T = t + xm = 1.57910383592734

Somit ist mein A = 260.156203078074/T = 164.749269274807

Und mit diesem A bekomme ich eine Krümmung die mir keinen glatten Übergang zwischen den Klothoiden liefert

p.s. meine Tangentenlänge war auch falsch :-( statt 14905.852450522 müssen es 260.156203078074 sein

diesmal ist aber alles richtig!!

Gruß,
Peter

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Hi,

also bei mir ist der Schnittwinkel der Tangenten mit deinem gamma gleichzusetzen gamma = 2*tau = 95.4526219878125.

Nein. Hier mal ein Auszug aus dem Gruber S. 141. Der Winkel γ ist _nicht_ der Schnittwinkel.

[image]

Wenn Du keinen Kreisbogen zwischen den Klothoiden hast, ist α=0 und somit gilt γ=2τ.

Gruß Micha

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