Buchvorstellung
Buchcover

Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, dass ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse.
René Descartes

Zusammenführung von Koordinatensystem mittels Bündelausgleichung

In nahezu allen Bereich der Geodäsie sind Koordinatentransformationen notwendig. Sei es im Liegenschaftskataster, um Flurkarten miteinander zu verbinden, bei der Anwendung von Geoinformationssysteme, um Daten verschiedener Quellen in einem einheitlichen System zu referenzieren oder in der Messtechnik, um Messungen in einem Objektkoordinatensystem zu überführen oder Standpunkten von Lasertrackern oder Laserscannern miteinander zu verknüpfen.

Die hierbei am häufigsten angewendete Transformation ist die Helmert-Transformation, die in der Lage vier Parameter (2 Translationen, 1 Drehung und 1 Maßstab) und im Raum sieben Parameter (3 Translationen, 3 Drehungen und 1 Maßstab) besitzt. Direkte Methoden zum Ableiten der Transformationsparameter durch überführen in ein lineares Ausgleichungsproblem sind für die Lage bekannt [z.B. Baumann, 1993]. Für den räumlichen Fall liefert die Quaternionentransformation eine Möglichkeit zur direkten Bestimmung der 7 Parameter, sodass auch hier keine Informationen bezüglich Näherungswerte vorliegen müssen.


Wahl des Ausgleichungsmodells zur Parameterschätzung

Das Ausgleichungsmodell zur Bestimmung der Transformationsparameter ist in Abhängigkeit der Eingangsgrößen und deren Unsicherheitsbudget zu wählen. Liegen nur für ein System (Start- oder Zielsystem) Informationen bezüglich der Zuverlässigkeit der Punkte vor, so ist die Minimierungsaufgabe im klassischen Gauß-Markov-Modell zu lösen. Sind hingegen für das Start- und Zielsystem a-priori Werte für die Qualität der Punkte vorhanden, so handelt es sich um den Allgemeinfall der Ausgleichung, welcher in der Literatur als Gauß-Helmert-Modell bezeichnet wird. Formeln fürs Gauß-Markov-Modell können den bekannten Nachschlagewerken entnommen werden; strenge Formeln fürs Gauß-Helmert-Modell sind u.a. bei [Koch, 2000] oder [Ghilani und Wolf, 2006] verfügbar.

Das auch mithilfe eines Gauß-Markov-Modells durch das Einführen von Pseudobeobachtungen Ergebnisse erzielt werden könne, die äquivalent zu denen eines strengen Gauß-Helmert-Modells sind, zeigt u.a. die Diskussion zwischen [Lenzmann und Lenzmann, 2001], [Koch, 2001] und [Reinking, 2001] in der Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement (zfv). Der Vorteil dieser Vorgehensweise, der beispielsweise auch in der Netzausgleichung bei den sogenannten stochastischen Anschlusspunkten Anwendung findet, ist, dass Programme, die das Gauß-Markov-Modell nutzen auch für Problemstellungen angewendet werden können, die eine Lösung im Gauß-Helmert-Modell verlangen. Speziell für Koordinatentransformationen mit variablen Koordinaten im Start- und Zielsystem sei hier auf [Koch, 2002] verwiesen.


Verkette Transformationen (Bündelausgleichung)

Problemstellungen bei der Transformation ergeben sich immer dann, wenn mehr als nur ein Startsystem zu überführen ist. Dieser Fall tritt bspw. auf, wenn mehrere Flurkarten homogenisiert werden sollen. Aber auch bei der Verknüpfung von Laserscanner- oder Lasertrackerstandpunkten sind viele kleine lokale Subsysteme in ein einheitliches, globales Koordinatensystem zu überführen. Schiffsvermessungen im Schwimmdock, bei der sich der Bezugshorizont ständig verändert, lassen sich nur durch verkettete Transformationen miteinander verbinden. Was sich hinter diesen verketteten Transformationen (Bündelausgleichungen) verbirgt, soll im Folgenden an einem Beispiel kurz beschrieben werden. Gegeben seien die vier Koordinaten eines Zielsystems (P1-P4), in welches zwei lokale Systeme zu transformieren sind. Die beiden lokalen Systeme unterscheiden sich vom Zielsystem nur durch einen Maßstabsfaktor. Dieser ist beim ersten System 0.5 und beim zweiten System √2, wobei auf eine Stelle gerundet wurde. Der Neupunkt N5 liegt sowohl im ersten also auch im zweiten Subsystem vor.

Start- und Zielsystem
Zielsystem Pkt P1 P2 P3 P4 N5
  X 0 1 1 0 -
  Y 0 0 1 1 -
Lokal 1 x 0 0.5 0.5 - 0.3
  y 0 0 0.5 - 0.3
Lokal 2 x - 0.7 0.7 0 0.4
  y - 0 0.7 0.7 0.4

Mittels des freien Koordinatentransformationsprogramms CoordTrans werden beide Subsysteme getrennt ins Zielsystem überführt und so der Punkt N5 bestimmt.

Koordinaten N5
System X Y
Lokal 1 0.4 0.4
Lokal 2 0.6 0.6

Der Punkt N5 bekommt, da die beiden Transformationen unabhängig voneinander sind, unterschiedliche Koordinaten nach der Transformation. Das dies ein unbefriedigendes Ergebnis darstellt, ist wohl unstrittig. Dass sich das Problem bei mehreren Subsystemen und Verknüpfungspunkten noch vergrößert, ist vorprogrammiert. Aus diesem Grund bietet sich an, ein verkettet Transformation bzw. Bündelausgleichung auf diese Problemstellung anzuwenden, bei der auch die Verknüpfungspunkte zwischen den Subsystemen Berücksichtigung finden. Modelle für ein solches Ausgleichungsproblem sind bei [Foppe und Hoffmann, 2009] hinreichend gut beschrieben. Die grundlegende Idee dabei ist es, die Verknüpfungspunkte der Subsysteme, die nicht im Zielsystem vorhanden sind, als zusätzliche Unbekannte direkt mitzuschätzen. Werden die beiden Subsysteme des Beispiels mittels 4 Parameter Helmert-Transformation auf das Zielsystem transformiert, so ergeben sich 8 unbekannte Transformationsparameter. Durch den identischen Punkt N5 in den beiden Subsystemen, erhöht sich die Anzahl nochmals um 2 für die mitzubestimmenden X und Y-Koordinaten. Allgemein gilt für die Berechnung im Gauß-Markov-Modell mit deterministischen Zielkoordinaten im 2D-Fall:


Transformationsparameter 2D
Transformationsparameter 2D

Worin i das zu transformierende Subsystem und j ein identischer Punkt, der in verschiedenen Subsystemen aber nicht im Zielsystem vorhanden ist, sei. Wobei die zu bestimmenden Parameter eine Transformation vom Ziel- ins lokale Subsystem beschreiben und die allg. Form besitzen:


Koordinatentransformation
Koordinatentransformation

Liegt auch ein Unsicherheitsbuget für die Zielkoordinaten vor, so sind die eingangs aufgeführten Verfahren zur Bestimmung der Transformation zu nutzen. Dass diese Vorgehensweise bei Aufnahmen mit einem Laserscanner mit mehreren hundert Punkten alternative Ansätze fordert, kann man sich leicht überlegen – steigt doch mit jedem Verknüpfungspunkt die Anzahl der Unbekannten. [Gielsdorf, 2009] leitet daher Transformationsparameter zur Verknüpfung von Laserscanner-Standpunkten über geometrische Primitive ab, indem er über ausgleichende Ebenen geht. Ist von einer geringeren Anzahl an Verknüpfungspunkten auszugehen, sollten die Algorithmen aus [Foppe und Hoffmann, 2009] genügen.


OpenSource Programm BundleAdjustment

Eine quellcodeoffene Implementierung in Java der verketten Transformation über topologische Modellierung bietet das Programm BundleAdjustment an. Die derzeit nur als Konsolenanwendung vorliegende Version berechnet die Bündelausgleichung wahlweise mit deterministischen oder stochastischen Zielsystemkoordinaten. Die Eingangsdaten sind als einfache ASCII-Datei an das Tool zu übergeben. BundleAdjustment berechnet Transformationen im 1D, 2D und 3D. Die zu bestimmenden Parameter pro Subsystem können dabei vom Nutzer selbst festgelegt werden. Eine Übersicht zu den möglichen Parametern ist nachfolgend zu finden:

Transformationsparameter
Trafo Parameter
1D Tz, m
2D Tx, Ty, Rz, m
3D Tx, Ty, Tz, Rx, Ry, Rz, m

Für das oben gewählte Beispiel ergeben sich erwartungsgemäß für den Punkt N5 folgende Koordinaten: [0.5/0.5]. Bestimmt wurden pro Subsystem 4 Transformationsparameter. Die Punkte im Start- und Zielsystem wurden hierbei als gleichgenau angenommen.

Das überbestimmte Gleichungssystem wird in BundleAdjustment direkt gelöst. Das klassische Aufstellen der Normalgleichungsmatrix entfällt.


Gleichungssystem
Gleichung

Worin A die Jacobimatrix mit den partiellen Ableitungen nach den Unbekannten ist, b der reduzierte Beobachtungsvektor und x die iterativen Zuschläge für die Unbekannten enthält. Die Lösung dieser Gleichung kann bspw. mithilfe der Singulärwertzerlegung (SVD) erfolgen und ist u.a. in Spatial Analyzer implementiert [Calkins, 2002]. Um unterschiedlichen Punktgenauigkeiten gerecht zu werden, kann eine Gewichtung mit G erfolgen und man gelangt zum homogenisierten Modell:


Homogenisiertes Modell
Homogenisiert

Diese Gewichtsmatrix G kann dabei mittels Cholesky-Zerlegung aus einer vorhandenen Varianz-Kovarianz-Matrix abgeleitet werden. Homogenisierte Gleichungssysteme sind bei der Anwendung robuster Schätzverfahren häufig zu finden [Jäger et al., 2005]. Die Varianz-Kovarianz-Matrix der geschätzten Parameter X ergibt sich mithilfe der Singulärwertzerlegung durch [Press, 1992]:


Varianz-Kovarianz-Matrix der geschätzten Parameter X
Varianz-Kovarianz-Matrix der geschätzten Parameter X

Alternativ kann diese auch mittels Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden. Dieser Weg wird bspw. von Spatial Analyzer gewählt. Dass die Ergebnisse bei korrekter Anwendung äquivalent sind, wurde bei der Anwendung der Monte-Carlo-Methode zur Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix exemplarisch gezeigt.

Näherungswerte und Koordinaten werden von BundleAdjustment selbstständig ermittelt. Im 1D-Fall sind die Transformationsgleichungen linear, das 2D-Problem lässt sich in ein lineares System überführen und im räumlichen Fall wird mithilfe der Quaternionentransformation die erste Näherung bestimmt. Damit BundleAdjustment die erste Näherung bestimmen kann, müssen zwischen dem Zielsystem und mindestens einem lokalen Subsystem genügend identische Punkte vorhanden sein. Die restlichen Punkte des Subsystems werden mittels dieser Lösung ins Zielsystem transformiert, sodass diese als Passpunkte für das nächste Subsystem herangezogen werden. Da für alle Dimensionen somit direkte Lösungsverfahren vorliegen, wäre der Einsatz des LMS zum Aufdecken von groben Fehlern und Punktverwechselungen problemlos möglich. In der derzeitigen ersten Version sind zum Aufdecken von Unstimmigkeiten bereits die klassischen Testverfahren implementiert.


Fazit

Auf die Problematik der verketteten Transformationen wurde in diesem Beitrag eingegangen. Hierzu wurden verschiedene Modelle zur Parameterschätzung kurze vorgestellt und anschließend direkt auf das im Programm BundleAdjustment implementierte Verfahren eingegangen, mit dem verkettet Transformationen bestimmt werden. Die Anwendung BundleAdjustment kann zusammen mit einem komplexeren Transformationsbeispiel kostenfrei runtergeladen werden, um eigene Berechnungen durchzuführen. Bei Fragen, Anregungen und Problemen bietet das Forum Vermessung eine Plattform zum unregistrierten Diskutieren.

BundleAdjustment


Quellen

Verwendete Literatur, die nicht der Bibliothek entnommen ist:

  • Calkins, J. M. (2002), Quantifying coordinate Uncertainty fields in coupled spatial measurement systems. Virginia Polytechnic Institute and State University.
  • Gielsdorf, F. (2009), Ebenendetektion, Matching und verkettete Transformation von Laserscans. Allgemeine Vermessungs-Nachrichten (AVN).
  • Koch, K.-R. (2000), Parameterschätzung im Gauß-Helmert-Modell. In: Beispiele zur Parameterschätzung, zur Festlegung von Konfigurationen und zur Hypothesenprüfung, Mitteilungen aus den Geodätischen Instituten der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn.
  • Koch, K.-R. (2001), Bemerkungen zu der Veröffentlichung "Zur Bestimmung eindeutiger Transformationsparameter". Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement (zfv).
  • Koch, K.-R. (2002), Räumliche Helmert-Transformation variabler Koordinaten im Gauß-Helmert- und Gauß-Markoff-Modell. Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement (zfv).
  • Lenzmann, E., Lennzmann, L. (2001), Zur Bestimmung eindeutiger Transformationsparameter. Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement (zfv).
  • Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T., Flannery, B. P. (1992), Numerical Recipes in C - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press.
  • Reinking, J. (2002), Anmerkung zu "Zur Bestimmung eindeutiger Transformationsparameter". Zeitschrift für Geodäsie, Geoinformation und Landmanagement (zfv).

16.08.2010 von Michael Lösler