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Von allen, die bis jetzt nach Wahrheit forschten, haben die Mathematiker allein eine Anzahl Beweise finden können, woraus folgt, dass ihr Gegenstand der allerleichteste gewesen sein müsse.
René Descartes

Deformationsanalyse: Beispiel einer Staumauerüberwachung mit JAG3D (Teil 1)

Friedrich Robert Helmert definierte die Aufgaben der Geodäsie als die Lehre von der Ausmessung und Abbildung der Erdoberfläche. Diese Definition trifft auch heute noch auf einen Teilbereich wie bspw. die Landesvermessung zu, grenzt aber gleichzeitig auch Bereiche aus. So finden sich einige Aufgaben, die von Vermessungsingenieuren ausgeübt werden, in dieser Definition nicht wieder. Beispielhaft seien hierbei Tätigkeitsfelder der präzisen Ingenieurvermessung und Messtechnik wie die Qualitätsüberwachung und -sicherung, Konvergenzmessungen oder die Deformationsanalyse genannt. Neben der Sicherheit für Mensch und Maschinen machen auch finanzielle Aspekte diese Aufgaben so wichtig. Aus diesem Grund soll die Deformationsanalyse in diesem Beitrag näher betrachtet und an einem Beispiel mit dem Ausgleichungsprogramm JAG3D, welches seit der Version v3.1 über eine entsprechende Option verfügt, durchgeführt werden. In einem zweiten Teil dieses Artikels sollen weitere Beispiele aus der Fachliteratur näher betrachtet werden.


Deformationsanalyse

Grundsätzlich existieren verschiedene Berechnungsmöglichkeiten bei der Durchführung einer Deformationsanalyse. Allen gemein ist, dass sie signifikante Veränderungen in den zu überprüfenden Objektpunkten XO aufzeigen und instabile Referenz- bzw. Stabilpunkte XR lokalisieren sollen. Eine häufig anzutreffende Variante ist die Koordinatenmethode (Jäger et al., 2005; Niemeier, 2008). Hierbei liegen die Koordinaten der Punkte des Deformationsnetzes inklusive der vollbesetzten Varianz-Kovarianz-Matrix C aus zwei (oder mehr) zu vergleichenden Epochen vor, die jeweils aus einer freien Netzausgleichung mit identischen Datum gewonnen wurden. Das funktionale Modell der gemeinsamen Ausgleichung lautet für zwei Epochen unter Verwendung von Einheitsmatrizen I:


Funktionales Modell der Koordinatenmethode
Koordinatenmethode

Die als stabil angenommenen Referenzpunkte werden aus beiden Epochen zusammengefasst, während die Objektpunkte pro Epoche einmal eingeführt werden. Das stochastische Modell setzt sich aus den beiden Varianz-Kovarianz-Matrizen C11 bzw. C22 der betrachteten Epochen zusammen:


Varianz-Kovarianz-Matrix zweier unkorrelierter Epochen
VKM zweier unkorrelierter Epochen

Mathematische Abhängigkeiten zwischen den betrachteten Epochen werden hierbei i.d.R. nicht berücksichtig, sodass die Nebendiagonalelemente C12 bzw. C21 Null sind. Veränderungen in den Objektpunkten können unter der Voraussetzung, dass die Referenzpunkte stabil geblieben sind, direkt abgeleitet werden.


Verschiebungsvektor
Verschiebungsvektor

Mittels Hypothesentest lässt sich abschließend klären, ob die ermittelten Punktveränderungen signifikant oder eher dem Messrauschen zuzuordnen sind. Die auf die Fischer-Verteilung bezogene Testgröße T ergibt sich aus:


Fischer-verteilte Testgröße
Fischer-verteilte Testgröße

mit


Gewichtsmatrix des Verschiebungsvektors
Gewichtsmatrix des Verschiebungsvektors

Veränderungen der als stabil angenommenen Referenzpunkte lassen sich durch einen Globaltest aufdecken. Da jeder Referenzpunkt für das ablehnen der Nullhypothese verantwortlich sein kann, sind die Referenzpunkte sukzessiv auf Veränderung zu prüfen (Niemeier, 2008). Neben dieser impliziten Suche nach instabilen Referenzpunkten schlagen Jäger et al. (2005) eine effektivere explizite Methode vor, die der Vorgehensweise des verallgemeinerten Datasnopping entspricht. Für nähere Details sei der interessierte Leser auf die zitierten Quellen verwiesen.

Neben der koordinatenbasierenden Vorgehensweise gibt es noch die Beobachtungsmethode, die auch im Überwachungssystem GOCA Anwendung findet. Statt die Koordinaten und Varianz-Kovarianz-Matrizen separater freier Netzausgleichungen zu betrachten, werden hierbei die originären Messwerte zweier (oder mehrerer) Epochen in einer gemeinsamen Ausgleichung ausgewertet. Das funktionale Modell für k Epochen lautet hierbei:


Funktionales Modell der Beobachtungsmethode
Funktionales Modell der Beobachtungsmethode

Anhand der Struktur der Designmatrix A lässt sich erkennen, dass in allen Epochen identische Referenzpunkte verwendet werden und somit ein identisches Datum zugrunde liegt. Die identischen Objektpunkte werden hingegen einmal pro Epoche als Neupunkte in die Ausgleichung eingeführt. Dies entspricht auch der Vorgehensweise der o.g. gemeinsamen Ausgleichung nach der koordinatenbasierten Methode. Eine Prüfung der Stabilpunkte kann wiederum implizit und explizit erfolgen (Jäger et al., 2005). Die vollbesetzte Varianz-Kovarianz-Matrix der Netzausgleichung ist abschließend wiederum für den Hypothesentest zum Aufdecken signifikanter Verschiebungen heranzuziehen. Im Gegensatz zur Koordinatenmethode sind hierbei die Nebendiagonalelemente C12 bzw. C21 nicht Null. Es existieren somit Korrelationen zwischen den Epochen. Da die Beobachtungsmethode auf einer reinen Netzausgleichung aufbaut, bietet sie sich für eine Integration in bestehende Ausgleichungsprogramme an und wurde in der freien Netzausgleichungssoftware JAG3D implementiert.


Überwachung eine Staumauer (Testnetz)

Ein fiktives 2D-Beispiel einer Überwachungsmessung an einer Staumauer soll eine mögliche Vorgehensweise mit JAG3D demonstrieren. Hierzu liegen die terrestrischen Beobachtungen der Null- und einer Folgeepoche vor. Das Netz besteht aus elf Objektpunkten, die sich auf der Mauerkrone befinden. Auf der Luftseite wurden sechs Vermessungspfeiler geschaffen, von denen die Punkte auf der Staumauer aus beobachtet werden können. Diese sechs Pfeiler bilden die Referenzpunkte des Deformationsnetzes.


Skizze des Deformationsnetzes
Skizze des Deformationsnetzes

Das Beobachtungskonzept sieht vor, dass alle Pfeiler einmal besetzt werden. Von jedem Pfeiler aus werden Richtungs- und Streckenmessungen zu den übrigen durchgeführt. Von den Pfeilern 1001, 1002 und 1006 werden darüber hinaus auch die Objektpunkte mitbestimmt.


Einzelauswertung der beiden Epochen

Das in der jeweiligen Messepoche erhobenen Datenmaterial ist vor der eigentlichen Deformationsanalyse auf fehlerbehaftete Beobachtungen zu prüfen. Ferner ist bei der epochenweisen Auswertung das stochastische Modell der Beobachtungen abzustimmen, da sich dieses Aufgrund von unterschiedlichen Instrumenten zwischen den Epochen ändern könnte. Aus diesen Gründen erfolgt die getrennte Auswertung der beiden Einzelepochen jeweils durch eine freie Netzausgleichung. Durch die freie Netzausgleichung ist gewährleistet, dass kein zusätzlicher Zwang auf das Netz ausgeübt wird und die Netzstruktur allein aus dem erhobenen Beobachtungsmaterial resultiert. Das geodätische Datum der freien Netzausgleichung wird durch die als stabil angenommenen Messpfeiler 1001-1006 definiert. Die Objektpunkte 100-110 werden als Neupunkte in die Ausgleichung eingeführt.

Mittels der Varianzkomponentenschätzung kann die Abstimmung des stochastischen Modells erfolgen. Die Gruppenvarianzfaktoren sollten in etwa zwischen 0.6 und 1.4 liegen (Benning, 2010). Es zeigt sich, dass sich bei den horizontalen Strecken ein Genauigkeitsansatz von 2mm und 2ppm anbietet. Bei den Richtungen ergeben sich ein absoluter Anteil von 0.2mgon und eine Zentriergenauigkeit von 0.3mm für beide Epochen. Grobe Fehler lassen sich in beiden Epochen nicht nachweisen.

Werden die ausgeglichenen Koordinaten der Nullepoche als erste Näherung in den Folgeepochen eingeführt, so kann eine erste Abschätzung möglicher Veränderungen anhand der ermittelten Verbesserungen abgeleitet werden, da das Netz der Folgeepoche so direkt auf die Koordinaten der Nullepoche transformiert wird.

Vergleich der Einzelepochenauswertung
Pkt Rechts Y0 Hoch X0 Rechts Y1 Hoch X1 delta Y delta X Betrag
1001 159.1475 222.2701 159.1388 222.2695 -0.0087 -0.0006 0.0087
1002 156.8483 331.4651 156.8492 331.4648 0.0009 -0.0003 0.0010
1003 238.1703 369.9714 238.1742 369.9640 0.0038 -0.0075 0.0084
1004 346.2169 316.2355 346.2347 316.2592 0.0178 0.0237 0.0297
1005 276.3887 197.2699 276.3785 197.2602 -0.0102 -0.0098 0.0141
1006 215.7563 278.3045 215.7526 278.2990 -0.0037 -0.0055 0.0067
100 99.9994 199.9996 99.9899 200.0052 -0.0095 0.0055 0.0110
101 100.6759 215.0002 100.6750 215.0038 -0.0009 0.0036 0.0037
102 101.2011 229.9999 101.2084 230.0037 0.0073 0.0038 0.0082
103 101.5769 245.0001 101.5904 245.0039 0.0135 0.0038 0.0140
104 101.8015 260.0003 101.8197 260.0035 0.0183 0.0032 0.0185
105 101.8770 274.9999 101.8968 275.0043 0.0198 0.0045 0.0203
106 101.8014 290.0004 101.8224 290.0043 0.0210 0.0039 0.0213
107 101.5761 305.0005 101.5959 305.0041 0.0198 0.0036 0.0201
108 101.2017 319.9996 101.2169 320.0046 0.0152 0.0050 0.0160
109 100.6759 334.9999 100.6853 335.0046 0.0093 0.0047 0.0105
110 100.0005 350.0000 100.0010 350.0043 0.0006 0.0043 0.0043

Die Analyse der Restklassen erlaubt erste Rückschlüsse auf mögliche Deformationen. Die Objektpunkte weisen fast alle Veränderungen in der Größenordnung von 1-2cm auf. Auch bei den als stabil angenommenen Punkten sind Auffälligkeiten zu erkennen. Mindestens die Punkte 1004 und 1005 sollten in der sich anschließenden Deformationsanalyse kritisch betrachtet werden.


Deformationsanalyse beider Epochen mittels Beobachtungsmethode in JAG3D

Um eine Deformationsanalyse innerhalb von JAG3D durchführen zu können, sind die Daten beider Epochen in einem Projekt zu vereinen. Wie oben bereits beschrieben, müssen die Objektpunkte pro Epoche separat eingeführt werden. Da die Punktnummer innerhalb von JAG3D einzigartig sein muss, sind die Punktenummern somit zwischen den Epochen umzubenennen und das Beobachtungsmaterial entsprechend der Punktnummern anzupassen. In dem Beispiel hier haben die Objektpunkte in der Nullepoche 100er und in der Folgeepoche 200er Nummern. Ein einheitliches Datum beider Epochen wird dadurch erreicht, dass die Referenzpunkte in beiden Epochen gleich sind, wie aus dem funktionalen Modell der Beobachtungsmethode ersichtlich wird.

Um die als unverändert angenommenen Referenzpunkte überhaupt auf signifikante Verschiebungen testen zu können, muss dem Programmsystem noch mitgeteilt werden, welche Beobachtungsgruppen zur Null- und welche zur Folgeepoche gehören. Hierzu bietet JAG3D im Eigenschaftendialog der jeweiligen Beobachtungsgruppe eine entsprechende Option an.


JAG3D - Gruppendialog der Beobachtungen
JAG3D - Gruppendialog der Beobachtungen

Beobachtungsgruppen, die zur Nullepoche gehören, sind der Referenzepoche zugeordnet, und die Beobachtungen der Kontrollmessung der Folgeepoche.

Weiterhin sind die auf Veränderung hin zu untersuchenden Punkte bzw. Vektoren d im Projekt zu definieren, indem die Punkte der Referenzepoche denen der Folgeepoche zugeordnet werden. Abschließend ist in den Projekteinstellungen lediglich die Option Deformationsanalyse durchführen auszuwählen und die Berechnung zu starten.


JAG3D - Definition der Verschiebungsvektoren
JAG3D - Definition der Verschiebungsvektoren

Bevor die Objektpunkte auf mögliche Änderungen untersucht werden, ist sicherzustellen, dass die Referenzpunkte stabil geblieben sind. Die Voranalyse durch Vergleichen der Ergebnisse der Einzelepochen ergab bereits, dass möglicherweise einige Referenzpunkte zwischen den Epochen nicht unverändert geblieben sind. Diese Vermutung wird durch den durchgeführten Stabilpunkttest innerhalb der Deformationsanalyse bestätigt. Eine Verschiebung des Punktes 1004 zwischen den Epochen ist hochsignifikant. Aufgrund der bekannten Verschmierungseffekte innerhalb der Ausgleichungsrechnung werden auch die anderen Referenzpunkte als verändert ausgewiesen. Ob weitere Punkte instabil sind, muss sukzessiv geprüft werden. In der Annahme, dass sich nur ein Punkt verändert hat, wird zunächst nur der Punkt 1004 als verschoben verdächtigt, da dieser mit Abstand die größten Testgrößen erhalten hat.


JAG3D - Ergebnis des Stabilpunkttests
JAG3D - Ergebnis des Stabilpunkttests

Grundsätzlich könnte der Punkt 1004 aus der Ausgleichung gestrichen werden, indem er deaktiviert oder gelöscht wird. Da aber die Einzelepochenauswertung gezeigt hat, dass keine Unstimmigkeiten innerhalb des Beobachtungsmaterials vorliegen, hätte ein Ausschluss des Punktes 1004 den unnötigen Verzicht aller Beobachtungen, an denen der Punkt beteiligt ist, zur Folge. Sinnvoller erscheint es daher, den Punkt 1004 in die Gruppe der instabilen Objektpunkte zu schieben und einen Verschiebungsvektor zu definieren. Der Punkt 1004 wird in der Folgeepoche mit der Punktnummer 2004 eingeführt und die Berechnung wiederholt. Es zeigt sich, dass anschließend keiner der verbleibenden fünf Referenzpunkte als verschoben ausgewiesen wird, sodass nun eine Betrachtung der Ergebnisse der Objektpunkte erfolgen kann. Hier zeigt sich, dass bis auf die Randpunkte 100 und 110 der Staumauer alle Punkte signifikant verschoben sind. Durch die geschickte Festlegung des Koordinatensystems, bei dem die X-Achse parallel zur Staumauer verläuft, lässt sich auch die Verschiebungsrichtung leicht ableiten. Während in X-Richtung quasi keine Änderungen stattgefunden haben, sind deutliche Deformationen der Mauer in Y-Richtung zu erkennen. Diese sind zudem einseitig und verlaufen von der Wasserseite in Richtung der Luftseite.


Skizze des Deformationsnetzes mit Verschiebungsvektoren und Konfidenzellipsen
Skizze des Deformationsnetzes mit Verschiebungsvektoren und Konfidenzellipsen

Auch der Deformationsvektor 1004-2004 weist deutliche Verschiebungsbeträge auf. Insgesamt ergibt sich eine Verschiebung von über 4cm für den Messpfeiler, der damit als Referenzpunkt in weiteren Epochen nicht mehr genutzt werden kann.


JAG3D - Veränderungen der Objektpunkte
JAG3D - Veränderungen der Objektpunkte

Resumee

Deformationsmessungen und -analysen liefern Hinweise auf Verformungen bzw. Veränderungen eines Körpers und beantwortet Fragen z.B. zur Standsicherheit. Verschiedene Modelle zum Durchführen dieser Aufgabe sind bekannt und in der geodätischen Literatur beschrieben, sodass sie in diesem Beitrag nur kurz angeschnitten wurden. Besonders die in Jäger et al. (2005) publizierte Beobachtungsmethode lässt sich leicht in bestehende Netzausgleichungsprogramme integrieren und wurde im freien Programmpaket JAG3D implementiert. Am Beispiel einer fiktiven Staumauer wurde eine Vorgehensweise bei der Auswertung von Deformationsmessungen kurz umrissen. Alle in diesem Testnetz eingebrachten Deformationen konnten dabei von JAG3D aufgedeckt werden. Auch bei dem in Jäger et al. (2005) abgedruckten Beispiel eines Höhendeformationsnetzes konnten übereinstimmende Ergebnisse abgeleitet werden.

Die für dieses Beispiel simulierten Daten stehen zum Download zur Verfügung, sodass die Möglichkeit besteht, die abgeleiteten Ergebnisse mit anderen Produkten zu vergleichen.

Beispieldatensatz zur Deformationsanalyse

22.09.2010 von Michael Lösler