Buchvorstellung
Buchcover

Das einzige Mittel, den Irrtum zu vermeiden, ist die Unwissenheit.
Jean-Jacques Rousseau

Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix mittels Monte-Carlo-Simulation

Die Anwendung der Monte-Carlo-Methode findet bei der Bestimmung von Messunsicherheiten in der Geodäsie immer größeren Zuspruch. Dieser Eindruck entsteht zumindest, wenn man die aktuelle Fachpresse ein wenig verfolgt. Die Ermittlung der Varianz einer gesuchten Größe wird aus einem Zufallsexperiment abgeleitet. Voraussetzung sind bekannte Eingangsparameter mit zugehörigen Unsicherheiten, die Art der Verteilung dieser und natürlich der funktionale Zusammenhang.


Funktionsgleichung
Funktion

Am eindimensionalen Beispiel der Bestimmung der Standardabweichung des Umfangs wurde bereits anschaulich gezeigt, dass die Monte-Carlo-Methode (in Abhängigkeit der Stichprobenzahl) eine alternative Lösung zum Varianzfortpflanzungsgesetz darstellt - ein hinreichend linearer Zusammenhang und Normalverteilung vorausgesetzt, was in der Geodäsie jedoch der üblichen Annahme entspricht und daher kein konstruierter Sonderfall ist. 
Mit der Monte-Carlo-Simulation besteht auch die Möglichkeit, Kovarianzen zu ermitteln. Diese sind immer dann von Nöten, wenn die simulierte Unsicherheit einer Größe noch nicht dem Endergebnis entspricht aber alle verfügbaren Informationen bei der Lösung des Hauptproblems Berücksichtigung finden sollen. Klassisches Beispiel ist die Formanalyse. Hier werden im Allgemeinen Punkte als Beobachtungen ins Modell eingeführt und eine bestimmte geometrische Form (Ebene, Kugel, Zylinder, usw.) aus diesen abgeleitet bzw. berechnet. Notwendigerweise sind hier dann neben den Standardabweichung der eingeführten Punkte auch die Beziehungen zwischen den einzelnen Punkten zu berücksichtigen. Stammen die Punkte aus einer geodätischen Messung, so sind sie zwangsläufig aus den Messelementen des verwendeten Instrumentes abgeleitet und damit auch korreliert. Dieser Beitrag soll die Fortführung des Artikels Ermittlung von Messunsicherheiten nach der Monte-Carlo-Methode darstellen und am Beispiel der ebenen Polarpunktbestimmung beispielhaft zweigen, wie die vollständigen Varianz-Kovarianz-Matrix mittels Monte-Carlo-Simulation bestimmt werden kann. Zum Vergleich wird das Ergebnis ebenfalls nach dem klassischen Varianzfortpflanzungsgesetz bestimmt.


Beispiel Polarpunktbestimmung

Zunächst wird die Varianz-Kovarianz-Matrix für den gesuchten Punkt nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz theoretisch hergeleitet. Im Anschluss wird gezeigt, wie diese Matrix über die Monte-Carlo-Simulation ebenfalls gewonnen werden kann.
Wir vernachlässigen bei der Bestimmung der Polarkoordinaten einen möglichen Translationsvektor und hängen den Punkt direkt an den Ursprung des lokalen Koordinatensystems. Damit ergeben sich die Koordinaten nach den bekannten Formeln:


polare Punktbestimmung
Polarpunkt

worin r der gemessene Abstand und φ der orientierte Winkel zwischen dem gesuchten Punkt und der x-Achse ist. Weiterhin sind die Standardabweichungen σr und σφ der beiden Messelemente gegeben. Diese liefert i.d.R. der Hersteller mit oder stammen aus einer vorangegangenen Abschätzung.

Für die Bestimmung der vollständigen Varianz-Kovarianz-Matrix nach dem Varianzfortpflanzungsgesetz sind bekanntermaßen die partiellen Ableitungen nötig, die in der Designmatrix A zu hinterlegen sind. Sie lauten:


partielle Ableitungen
partielle Ableitungen

Ausgehend von unkorrelierten Messwerten reduziert sich die Varianz-Kovarianz-Matrix C zu einer Diagonalmatrix. Mit der bekannten Formel für das Fehler- bzw. Varianzfortpflanzungsgesetz lässt sich die Varianz-Kovarianz-Matrix Cxy des Punktes bestimmen. Auf der Hauptdiagonalen stehen die Varianzen σx2 und σy2 des Punktes. Auf der Nebendiagonale die entsprechende Kovarianz cov(x,y). Die gewurzelte Hauptdiagonale liefert somit die Standardabweichung der jeweiligen Größe, siehe auch den 1. Teil des Artikels: Ermittlung von Messunsicherheiten nach der Monte-Carlo-Methode.


Varianzfortpflanzungsgesetz
Varianzfortpflanzungsgesetz

Für die Monte-Carlo-Simulation sind keine partiellen Ableitungen nötig. Für die Bestimmung der Unsicherheit ist lediglich eine möglichst große Stichprobe zu nutzen. Benötigt werden somit m gestreute Zufallswerte für die beiden Messgrößen r und φ. Die Zufallswerte lassen sich jeweils über den m-dimensionalen Zufallsvektor R für die Strecke bzw. Φ für den Winkel ausdrücken. Die sich mit R und Φ ergebenen x- und y-Koordinaten des Punktes lassen sich in den Vektoren X und Y zusammenfassen. Zur Bestimmung der vollständigen Varianz-Kovarianz-Matrix wird der Verbesserungsvektor vX und vY für beide Koordinatenkomponenten benötigt. Diese ergeben sich hier aus:


allg. Verbesserungsvektor
allg. Verbesserungsvektor

wobei der Querstrich den jeweiligen Mittelwert repräsentiert.


Mittelwertbildung
Mittelwertbildung

Die aus der Monte-Carlo-Simulation resultierende vollbesetzte Varianz-Kovarianz-Matrix ergibt sich Elementweise durch Multiplikationen der einzelnen Verbesserungsvektoren und anschließender Division durch den Freiheitsgrad, hier wiederum mit m bezeichnet.


Kovarianzmatrix aus Monte-Carlo-Methode
Kovarianzmatrix aus MCM

Rechenbeispiel

Ein einfaches Rechenbeispiel soll den oben hergeleiteten Berechnungsablauf verbildlichen und die Richtigkeit der Vorgehensweise pragmatisch belegen. Neben den Eingangsgrößen r und φ sind deren a-priori Unsicherheiten gegeben. Gegenübergestellt ist die ermittelte Varianz-Kovarianz-Matrix aus dem Varianzfortpflanzungsgesetz und der Monte-Carlo-Methode nach m=10000 Simulation.

Varianzfortpflanzungsgesetz vs.  Monte-Carlo-Simulation
Parameter Messwert Unsicherheit
r 75.000 m 0.02 m
φ 20.000 gon 0.001 gon
Varianzfortpflanzungsgesetz
0.0003619359 	0.0001171492
0.0001171492 	0.0000394520
Monte-Carlo-Simulation
0.0003611757 	0.0001167115
0.0001167115 	0.0000392430
 

Ergebnis

Die Ergebnisse der Tabelle zeigen, dass die aus der Monte-Carlo-Simulation stammende vollbesetzte Varianz-Kovarianz-Matrix (in Abhängigkeit der Stichprobengröße) nahezu identisch ist mit dem Ergebnis aus dem Fehler- bzw. Varianzfortpflanzungsgesetz. Gerade bei nicht-linearen Problemen, wo es mitunter schwierig und zeitaufwendig ist, die partiellen Ableitungen zu bilden, kann auf die Monte-Carlo-Simulation zurückgegriffen werden um die Unsicherheiten abzuschätzen. Für brauchbare Ergebnisse ist lediglich eine sehr große Stichprobenzahl m notwendig, was letztlich Rechenzeit und - je nach Komplexität des Problems - auch Speicherressourcen benötigt. Auch beim Vorliegen von korrelierten Eingangsgrößen kann die Monte-Carlo-Simulation zur Genauigkeitsabschätzung genutzt werden, wie der 3. Teil zeigen wird.

20.12.2008 von Michael Lösler