Buchvorstellung
Buchcover

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.
David Hilbert

Anwendung der Fehlerfortpflanzung bei der Polarpunktbestimmung

Die Bestimmung von Punkten über polares Anhängen ist in der Geodäsie zweifelsohne die verbreitete Methode der Koordinatenbestimmung. Moderne elektronische Instrumente wie beispielsweise Tachymeter setzen dieses Berechnungsverfahren direkt um, in dem sie die Strecke und die beiden Winkel zum jeweiligen Messpunkt bestimmen und diese an den Instrumentenstandpunkt einfach anhängen. Doch wie genau ist das ermittelte Ergebnis eines einfachen Polarpunktes eigentlich und welche Einflussparameter sind zu berücksichtigen?
Formal liegen für den zu bestimmenden dreidimensionalen Punkt drei Beobachtungen vor; die Raum- bzw. Schrägstrecke, der Zenitwinkel und ein Azimutwinkel. Für alle drei Elemente liefert der Hersteller in der Regel auch ein Unsicherheitsbudget. Neben diesen Unsicherheiten sind weitere Parameter, die das Ergebnis beeinflussen, zu berücksichtigen. Der Standpunkt, auf dem das Instrument aufgebaut ist, ist nicht 100%ig exakt, das Instrument selbst hat Fehler, die bei einen in einer Lage gemessenen Punkt nicht wegfallen und letztlich ist die Genauigkeit, mit der ein Punkt angezielt wird, nicht unendlich klein. Dieser Beitrag zeigt kurz den mathematischen Berechnungsansatz und geht dann in ein praktisches Beispiel über. Bei aktivem JavaScript ist es möglich, eine Abschätzung mit individuellen Werten durchzuführen. Für Fragen steht unser Forum zur Verfügung.


Formelmäßiger Zusammenhang

Der räumliche Polarpunkt ergibt sich unter Berücksichtigung der in der untenstehenden Tabelle aufgeführten Parameter durch nachfolgende Gleichungen:


Polarpunktbestimmung
Polarpunktbestimmung

mit


Zenitwinkel
Zenitwinkel

Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes

Mit Hilfe des Fehlerfortpflanzungsgesetzes lassen sich nun die Standardabweichungen des Polarpunktes ermitteln. Hierzu sind die partiellen Ableitungen nach den einzelnen Einflussgrößen zu ermitteln und in der Designmatrix A zu hinterlegen. Die Standardabweichungen der einzelnen Einflussgrößen stehen in der Kovarianzmatrix Cxx auf der Hauptdiagonalen. Sollten auch Korrelationen zwischen den Größen vorliegen, so sind diese auf den entsprechenden Nebendiagonalelementen zu hinterlegen, da diese stets zu einem realistischeren Ergebnis führen. (Im unten aufgeführten Beispiel werden die Korrelationen vernachlässigt)


Fehlerfortpflanzungsgesetz
Fehlerfortpflanzungsgesetz

Eingangsgrößen

In der nachfolgenden Tabelle sind die für dieses Beispiel berücksichtigen Größen mit ihren Standardabweichung zusammengetragen. Ein Anspruch auf Vollständigkeit aller Einflussgrößen ist trotzdem nicht gegeben!

 
Eingangsdaten
Parameter Messwert Unsicherheit Ursprung
 
Standpunkt      
  X 100.000 m 0.002 m Netzausgleichung
Y 200.000 m 0.002 m Netzausgleichung
Z 50.000 m 0.002 m Netzausgleichung
Messwert      
  Instrumentenhöhe ih 1.65 m 0.001 m Anwender
Tafelhöhe ih 1.30 m 0.001 m Anwender
Strecke s 25.000 m 0.002 m + 2 ppm Hersteller
Azimut r 50.000 gon 0.0003 gon Hersteller
Zenit z 85.000 gon 0.0003 gon Hersteller
Instrument      
  Zielachsfehler c 0.002 gon 0.0003 gon Instrumentenkalibrierung
Kippachsfehler i -0.004 gon 0.0003 gon Instrumentenkalibrierung
Höhenindexfehler k 0.003 gon 0.0003 gon Instrumentenkalibrierung
Additionskonstante a -0.034 m 0.001 m Instrumentenkalibrierung
Kompensator d -0.0011 gon 0.0002 gon Hersteller
Zielungsfehler b 0.0 m 0.0005 m Anwender/Hersteller

Ergebnis

In der nachfolgenden Tabelle sind die Ergebnisse der Polarpunktbestimmung zusammengefasst. Die Werte der Parametertabelle sind editierbar, sodass eine Bestimmung der Unsicherheiten der Polarpunktbestimmung mit individuellen Werten erfolgen kann.

Ergebnis
Koordinate σ
X [m] 117.16598 0.00253
Y [m] 217.16598 0.01094
Z [m] 56.17747 0.01240

Durch das Messen in zwei Lagen lässt sich ein Teil der Einflussgrößen eleminieren. Wann immer es möglich ist, sollte daher diese Messanordung gewählt werden. Bei Anwendungen im kinematischen Bereichen, kann jedoch nicht zusätzlich in der 2. Lage gemessen werden, sodass alle Fehler im Ergebnis enthalten sind.

28.09.2008 von Michael Lösler